Após esse vídeo, você será capaz de explicar a aproximação da resposta de sistemas com zeros pela resposta de sistemas sem zeros. Dessa vez vamos direto para o sistema de segunda ordem subamortecido que é o que realmente nos interessa. Mas as conclusões às quais chegaremos são válidas também para sistemas superamortecidos e sistemas de outras ordens. Nossa função de transferência padrão de segunda ordem é G de s igual a ômega n ao quadrado sobre s ao quadrado mais 2 ksi ômega n s mais ômega n ao quadrado. Vamos acrescentar zero a essa função de transferência e ao mesmo tempo acrescentamos ganho para manter o valor final inalterado. Temos assim: G1 de s é igual a 1 sobre a ômega n ao quadrado vezes s mais a sobre s ao quadrado mais 2 ksi ômega n s mais ômega n ao quadrado. Multiplicando a função de transferência por 1 sobre s, obtemos a Transformada de Laplace da resposta ao degrau. Podemos separar Y de s dois fatores: com s no numerador e sem s no numerador. Vamos colocar s sobre a evidência no primeiro termo e cancelar o a no numerador e no denominador no segundo termo. Temos então: Y 1 de s é igual a s sobre a vezes 1 sobre s vezes ômega n ao quadrado sobre s ao quadrado mais 2 ksi ômega n s mais ômega n ao quadrado mais 1 sobre s vezes ômega n ao quadrado sobre s ao quadrado mais 2 ksi ômega n s mais ômega n ao quadrado. Note que temos dois termos ambos com Y de s e podemos escrever Y de s como: Y de s é igual a s sobre a Y de s mais Y de s. E lembrando que a Transformada de Laplace é linear e lembrando também da propriedade da transformada da derivada, podemos escrever Y de t é igual a 1 sobre a Y ponto de t mais Y de t, onde Y de t é a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem sem zeros. Ou seja, a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem com o zero é a resposta do sistema de segunda ordem sem o zero mais a sua derivada dividido por menos o valor do zero. Isso deixa a resposta mais rápida e aumenta o overshoot, e é fácil observar que quanto maior o valor de a menor a contribuição da derivada na saída do sistema com zero. Execute o MatLab, New Simulink Model Contrulita, edite a função de transferência para 1 e 1 1 1. Apague o Zero-Pole e faça uma cópia da função de transferência para o lugar dele, altere o numerador de uma das funções de transferência para 1 1 e rode a simulação. Altere agora para 0.1 vezes 1 10 e rode a simulação de novo. Do mesmo modo que o polo, se o zero estiver suficientemente afastado, isto é, se ele estiver bem à esquerda no semiplano da esquerda, digamos 5 vezes mais afastado da origem do que os polos de segunda ordem, podemos desprezar o seu efeito e considerar que a resposta do sistema com o zero pode ser aproximada pela resposta do sistema sem zeros. Altere o numerador agora para menos 0.5 vezes 1 menos 2 e rode a simulação de novo. Notou algo de interessante no gráfico? A saída vai primeiro para a direção oposta antes de tender para o valor final. Esse fenômeno é chamado de undershoot e aparece quando temos zero no semiplano da direita. Nesse caso a derivada da resposta ao degrau está sendo subtraída e não somada e por isso temos o undershoot. Mas se o zero estiver bem afastado no semiplano da direita, ele não será perceptível e também podemos aproximar a resposta do sistema com o zero no semiplano da direita pela resposta de sistema sem zeros. Caso a nossa função de transferência tenha terceiro polo zero, o elemento mais próximo da origem influencia mais na resposta ao degrau. E se o polo e zero adicionais estiverem próximos entre si, podemos desprezar o efeito de ambos mesmo que eles não estejam muito afastados da origem. Lembre-se: polo deixa o sistema mais lento e mais amortecido, enquanto que zero deixa o sistema mais rápido e aumenta o overshoot. E se o polo estiver no semiplano da direita, teremos sistema instável. Se o zero estiver no semiplano da direita, podemos ter undershoot na resposta ao degrau. Vamos ver o efeito de par de polo e zero na resposta de sistema de segunda ordem. Vamos simular o sistema: G 1 de s é igual a b sobre a vezes ômega n ao quadrado s mais a sobre s mais b s ao quadrado mais 2 ksi ômega n s mais ômega n ao quadrado. E vou aproveitar para mostrar duas coisas interessantes no Simulink. Primeiro, você talvez tenha percebido que a simulação não está muito boa, a saída tem mudanças abruptas. O Simulink faz alguns ajustes automáticos da simulação, mas eles nem sempre funcionam muito bem. isso porque o Simulink tenta achar uma solução de compromisso entre a qualidade da simulação e o tempo que a simulação demora para ser executada. No momento estamos mais interessados na qualidade do que na velocidade, então vamos melhorá-la. Primeiro dê zoom na resposta que acabamos de obter, clique na lupa no meno do Scope e clique e arraste retângulo torno do undershoot ou do overshoot, tanto faz. Pode fazer isso mais de uma vez se for necessário. Você vai notar que o gráfico da saída não é muito suave, ele tem várias mudanças abruptas. Feche o Scope e volte para a janela do modelo. No menu Simulation escolha: Model Configuration Parameters. Se você quiser simular o modelo por mais ou menos tempo, você pode alterar o 10 do stop time para outro valor. Por enquanto, 10 está bom. Clique em: Additional Options para ver mais parâmetros. Só vamos mudar deles, o Max step size. No lugar de auto, de automático, digite 0.01, clique Ok, rode de novo a simulação e veja as saídas no Scope. Você verá que as curvas estão bem mais suaves. Para ver as mudanças bruscas, você terá que dar zoom muitas vezes. Para voltar ao nível de zoom normal, clique com o botão direito e escolha Reset to original view. Muito bem! Agora, sempre que a simulação não parecer muito boa, você já sabe que pode diminuir o Max step size para ter uma simulação de melhor qualidade. Mas tome cuidado, a não ser que você tenha muito poder de processamento, diminuir demais esse valor pode fazer a simulação demorar muito para ser completada. E a segunda coisa interessante? Vou mostrar que você pode usar variáveis e funções dentro dos blocos do Simulink. Para facilitar a nossa vida vamos já dar valores numéricos para ksi e ômega n. Mas se você preferir, pode usar ômega n e ksi como variáveis também. Tente isso depois. A função de transferência a ser simulada vai ser então G 1 de s é igual a b sobre a vezes s mais a sobre s mais b vezes s ao quadrado mais s mais 1. Vamos começar com a igual a 3 e b igual a 5. Na linha de comando do Matlab, digite a igual a 3 enter, b igual a 5 enter. Podemos continuar usando o mesmo modelo Simulink ou você pode criar novo modelo. Eu vou usar o mesmo modelo. Já temos G de s e precisamos modificar G 1 de s e vamos fazer isso usando as variáveis a e b que acabamos de definir na linha de comando do Matlab. O numerador da função de transferência será b sobre a vezes 1 a e para o denominador, vamos usar uma função do Matlab, a função conv. A função conv, abreviatura de convolução, calcula o produto de dois polinômios, polinômios. No nosso caso os polinômios s mais b e s ao quadrado mais s mais 1. Mais uma dica: se você quiser saber mais sobre uma função ou não lembrar como uma função funciona, basta digitar help nome da função na linha de comando e teclar enter. Vamos fazer isso com a função conv: Digite help espaço conv enter. Se quiser ter mais informações sobre a função, basta clicar no link reference page for conv. Na maioria das vezes, você vai ver exemplos diretamente no help ou na página de referência. Vamos ver como o conv funciona. Digite conv abre parênteses abre colchetes 1 espaço b fecha colchetes vírgula abre colchetes 1 espaço 1 espaço 1 fecha colchetes fecha parênteses enter. A função conv multiplica o polinômio s mais b, que nesse caso é s mais 5 pelo polinômio s ao quadrado mais s mais 1. E o resultado é s ao cubo mais 6 s ao quadrado mais 6s mais 5, ou seja, coeficientes 1, 6, 6, 5. E esse é o denominador de G1 de s. Poderíamos escrever 1 6 6 5 no bloco Simulink, mas vamos usar o conv. Mais uma dica de Matlab: teclando seta para cima, os últimos comandos usados aparecem na linha de comando. Eu vou copiar o conv 1b 1 1 1 e colar no bloco do Simulink. Nesse caso, não adianta aumentar o bloco para ver o numerador e o denominador, o Simulink não mostra o resultado das funções. Se fossem só variáveis sem o uso de funções incluindo a multiplicação, ele mostraria o numerador e o denominador da nossa função. Mas tudo bem, se você digitou tudo certo a função de transferência está correta. Se quiser conferir, pode copiar o numerador e o denominador e criar uma função de transferência com a função T f na linha de comando do MatLab. Agora rode a simulação e vamos dar uma olhada na saída. A primeira entrada do Scope é mostrada amarelo e a segunda azul e vemos que a resposta ao degrau do sistema de terceira ordem com o zero, é mais rápida e menos amortecida do que a do sistema de segunda ordem puro, isso porque o zero está mais próximo da origem que o polo. Vamos inverter as posições do polo e do zero e ver o que acontece e podemos fazer isso facilmente apenas digitando: a igual a 5 enter, b igual a 3 enter, na linha de comando do MatlLab e rodando a simulação de novo. O Simulink vai usar os novos valores de a e b. E agora vemos uma resposta mais lenta e mais amortecida, uma vez que a influência do terceiro polo é maior que a influência do zero. Mais uma dica? Cansado de ficar clicando no Scope depois de rodar uma simulação? Os seus problemas acabaram! Na janela do Scope, clique no menu File e Open at start of simulation. E de agora diante, sempre que você rodar a simulação a janela do Scope aparecerá primeiro plano, altere os valores de a e b e divirta-se. Agora você já é capaz de explicar a aproximação da resposta de sistemas com zeros pela resposta de sistemas sem zeros. Você também já sabe que o efeito de polo adicional é deixar a resposta do sistema mais lenta e mais amortecida e que o efeito de zero adicional é deixar a resposta mais rápida e menos amortecida e sabe também que o efeito de pode ser minimizado pela presença do outro e que, quem estiver mais próximo da origem, tem efeito maior na resposta. No próximo vídeo, faremos uma breve revisão do controle proporcional e da obtenção da função de transferência malha fechada.
