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Após esse vídeo, você vai ser capaz de escrever a solução da equação de estado
diretamente no domínio do tempo.
Primeiro, vamos lembrar a definição da exponencial escalar,
que é uma soma infinita dada por E elevado à x = 1 + x + x ao 2/2!
+ x ao 3/3!
+ + + x elevado à k /k!
+ + + ou E elevado à x = somatória de k =0 até o infinito de x elevado à k/k!
Se no lugar de x tivermos At,
teremos Et = 1 + a t + a ao 2 x t2/2!
+ a ao 3 x t3/3!
+ ....
+ a elevado à k + t elevado à k/k!
+ + + + E note agora que se derivarmos a exponencial de A t com relação ao tempo,
teremos d eat/dt = 0 + a + a ao 2 2 t/2!
a3/ 3 t² + 3!
+ + + + ak/tk-1/k!
+ + + Vamos agora colocar A evidência e simplificar
as frações chegando à D dt = a (1 + a 1/1!
+ a2 t2/2!
+ + + ) AK-1 TK-1/(K-1)!
Note que a soma entre parênteses é justamente a exponencial de a t e
concluímos que d eat/dt = a eat Muito bem, vamos ver agora
a definição do exponencial matricial que é bem parecida com a exponencial escalar.
Eat= I + A t + A2 T2/2!
+ A3 T3/3!
+...
+...
+ Ak tk/k!
+ + + + Apenas mudamos os escalares A e 1 para matrizes A e I, note que, sendo
A uma matriz N por N EAT será uma matriz N/N com elementos que dependem de T.
E agora será que você lembra qual é a função F(t) que soluciona
a seguinte equação diferencial?
d f (t)/dt = a f (t) + b u (t) com a condição inicial f (0)
= fo a solução é f (t) = e at
f 0 + ∫0 à t e (e- t) bu ( )d ( ).
Não acredita?
Bem, vamos recorrer a nossa amiga transformada de Laplace,
para resolver este problema.
Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial obtemos S f (s)-
f 0 = a F (s) + B u (s) Reorganizamos os termos e colocamos F(s) evidência,
multiplicamos por 1/s-a transformada inversa via tabela de transformadas
propriedades e f(t) = e at fo + et com [INCOMPREENSÍVEL] b u (t)
que é igual a et f(o) + ∫ 0t e at-t b u (t) d (t).
Ainda não está satisfeito?
Vamos derivar a solução e ver se a igualdade da equação diferencial realmente
é satisfeita.
Derivada da soma é a soma das derivadas e derivada de eat é a x eat.
Para derivar o segundo termo, fazemos uma pequena manipulação, tirando eat de
dentro da integral de convolução e seguida aplicamos a regra da derivada da
multiplicação, que é a derivada da primeira vez a segunda a se "enderivar",
mais a primeira a se "enderivar", vezes a derivada da segunda.
A derivada de eat é A vezese at e a derivada da integral é a própria função
que está sendo integrada.
Colocamos A evidência nos dois primeiros termos, jogamos o eat do segundo termo
para dentro da integral e cancelamos eat com e-at no último termo.
E note que o tema entre parênteses é justamente F (t), ou seja,
a equação diferencial é satisfeita e é fácil notar que f (0) é igual a f zero
já que e0 é igual a 1 e a integral de zero até zero é zero.
Não entendeu nenhum dos desenvolvimentos?
Não precisa se preocupar, basta acreditar que a solução de DF(t)= af(t) +
b com a condição inicial f(0)= f0 é f(t)=
et f(0) + ∫ ea(t-t) bu (t) d (t).
Então, agora vem o grande truque.
Como a exponencial matricial possui as mesmas características da
exponencial escalar, a solução da equação diferencial matricial x.
= x + bu com x (0) = xo a semelhança da equação escalar
será x(t) = eatx0 + integral de zero a t de eat-t bu (t) d (t).
Apenas mudamos a função escalar f para vetor x,
e os escalares A e B para matrizes A e B.
Finalmente, substituindo x(t) na equação de saída y = CX + du,
temos y(T = C Etxo + C ∫ e A(a-t) B u (t)
d (t) + d u (t) Como d normalmente é zero,
temos Y(t) = ceatx0 + c integral de zero a t de eat- b u (t) d (t).
E agora você já é capaz de escrever a solução da equação de estado diretamente
no domínio do tempo.
Mas talvez você esteja se perguntando: como obtemos eat?
Fazendo a soma infinita?
Não parece uma boa ideia, parece?
Nos próximos vídeos você verá duas maneiras de obter Eat que não exigem
cálculo e a soma de infinitos termos.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
