Após esse vídeo, você vai ser capaz de escrever a solução da equação de estado diretamente no domínio do tempo. Primeiro, vamos lembrar a definição da exponencial escalar, que é uma soma infinita dada por E elevado à x = 1 + x + x ao 2/2! + x ao 3/3! + + + x elevado à k /k! + + + ou E elevado à x = somatória de k =0 até o infinito de x elevado à k/k! Se no lugar de x tivermos At, teremos Et = 1 + a t + a ao 2 x t2/2! + a ao 3 x t3/3! + .... + a elevado à k + t elevado à k/k! + + + + E note agora que se derivarmos a exponencial de A t com relação ao tempo, teremos d eat/dt = 0 + a + a ao 2 2 t/2! a3/ 3 t² + 3! + + + + ak/tk-1/k! + + + Vamos agora colocar A evidência e simplificar as frações chegando à D dt = a (1 + a 1/1! + a2 t2/2! + + + ) AK-1 TK-1/(K-1)! Note que a soma entre parênteses é justamente a exponencial de a t e concluímos que d eat/dt = a eat Muito bem, vamos ver agora a definição do exponencial matricial que é bem parecida com a exponencial escalar. Eat= I + A t + A2 T2/2! + A3 T3/3! +... +... + Ak tk/k! + + + + Apenas mudamos os escalares A e 1 para matrizes A e I, note que, sendo A uma matriz N por N EAT será uma matriz N/N com elementos que dependem de T. E agora será que você lembra qual é a função F(t) que soluciona a seguinte equação diferencial? d f (t)/dt = a f (t) + b u (t) com a condição inicial f (0) = fo a solução é f (t) = e at f 0 + ∫0 à t e (e- t) bu ( )d ( ). Não acredita? Bem, vamos recorrer a nossa amiga transformada de Laplace, para resolver este problema. Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial obtemos S f (s)- f 0 = a F (s) + B u (s) Reorganizamos os termos e colocamos F(s) evidência, multiplicamos por 1/s-a transformada inversa via tabela de transformadas propriedades e f(t) = e at fo + et com [INCOMPREENSÍVEL] b u (t) que é igual a et f(o) + ∫ 0t e at-t b u (t) d (t). Ainda não está satisfeito? Vamos derivar a solução e ver se a igualdade da equação diferencial realmente é satisfeita. Derivada da soma é a soma das derivadas e derivada de eat é a x eat. Para derivar o segundo termo, fazemos uma pequena manipulação, tirando eat de dentro da integral de convolução e seguida aplicamos a regra da derivada da multiplicação, que é a derivada da primeira vez a segunda a se "enderivar", mais a primeira a se "enderivar", vezes a derivada da segunda. A derivada de eat é A vezese at e a derivada da integral é a própria função que está sendo integrada. Colocamos A evidência nos dois primeiros termos, jogamos o eat do segundo termo para dentro da integral e cancelamos eat com e-at no último termo. E note que o tema entre parênteses é justamente F (t), ou seja, a equação diferencial é satisfeita e é fácil notar que f (0) é igual a f zero já que e0 é igual a 1 e a integral de zero até zero é zero. Não entendeu nenhum dos desenvolvimentos? Não precisa se preocupar, basta acreditar que a solução de DF(t)= af(t) + b com a condição inicial f(0)= f0 é f(t)= et f(0) + ∫ ea(t-t) bu (t) d (t). Então, agora vem o grande truque. Como a exponencial matricial possui as mesmas características da exponencial escalar, a solução da equação diferencial matricial x. = x + bu com x (0) = xo a semelhança da equação escalar será x(t) = eatx0 + integral de zero a t de eat-t bu (t) d (t). Apenas mudamos a função escalar f para vetor x, e os escalares A e B para matrizes A e B. Finalmente, substituindo x(t) na equação de saída y = CX + du, temos y(T = C Etxo + C ∫ e A(a-t) B u (t) d (t) + d u (t) Como d normalmente é zero, temos Y(t) = ceatx0 + c integral de zero a t de eat- b u (t) d (t). E agora você já é capaz de escrever a solução da equação de estado diretamente no domínio do tempo. Mas talvez você esteja se perguntando: como obtemos eat? Fazendo a soma infinita? Não parece uma boa ideia, parece? Nos próximos vídeos você verá duas maneiras de obter Eat que não exigem cálculo e a soma de infinitos termos.
