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Após esse vídeo, você será capaz de escrever a representação de
sistema mecânico simples diretamente no espaço de estados.
Vamos usar outro velho amigo, o sistema massa mola amortecedor.
Quando estamos trabalhando com sistemas mecânicos,
uma escolha bastante comum das variáveis de estado são posições e velocidades.
Vamos começar lembrando das equações dos elementos do sistema massa mola
amortecedor.
Força da mola igual a constante de mola vezes o deslocamento, ou seja,
Fm é igual a K vezes Y.
Força do amortecedor é igual a constante de amortecimento vezes a velocidade,
ou seja, Fa igual a B vezes Y ponto.
E temos que a somatória das forças é igual a massa vezes a aceleração que é Y
dois pontos.
Definindo, X1 é igual a posição que é igual a Y e X2 é igual a velocidade que
é igual Y ponto.
Temos X1 ponto igual a X2 derivada da posição igual a velocidade.
E como a derivada da velocidade é a aceleração podemos escrever M X2 ponto
igual a menos F M menos F A mais U que é igual a menos K X1 menos B X2 mais U.
Dividindo tudo por M temos X2 ponto é igual a menos K sobre M X1 menos
B sobre M X2 mais sobre M U.
Escrevendo essas equações no espaço de estados temos X ponto é igual a (zero
menos K sobre M menos B sobre M) X mais (zero, sobre M) U.
E Y é igual a (um zero) X.
E vamos aproveitar e modelar também motor D C, sistema eletro mecânico,
considerando que a saída seja a velocidade de rotação do eixo do motor,
temos as seguintes equações.
VR é igual a R I VL é igual a L (D I/Dt), T igual a KI.
O torque é igual a constante do motor vezes a corrente.
V M é igual a K ômega.
A tensão contra a eletromotriz é igual a constante do motor vezes a velocidade
angular, além disso VR mais VL mais VM igual a U e ômega ponto igual a T sobre J.
A aceleração angular é igual ao torque dividido pelo momento de inércia.
O estado X1 seja a velocidade angular do motor e o
estado X2 a corrente do circuito.
Temos assim X1 ponto igual a ômega ponto que é igual a T sobre J que é igual
a K vezes I sobre J que é igual a K sobre J X2 e X2 ponto é igual a DI/DT
que é igual a VL sobre L que é igual a menos VM menos VR mais U
sobre R que é igual menos K sobre L X1, menos R sobre L X2 mais sobre LU.
E nosso modelo no espaço de estados fica X ponto é igual a (zero K sobre J
menos K sobre L menos R sobre L) X mais (zero sobre L) U e Y igual a (um zero) X.
Note que se a saída fosse a posição e não a velocidade angular do eixo do motor,
o nosso modelo no espaço de estados com X1 igual a posição, X2 a velocidade e X3
igual a corrente, ficaria X ponto é igual a (zero zero, zero zero K sobre J,
zero menos K sobre L menos R sobre L) X mais (zero zero sobre L) U.
E Y é igual a (um zero zero) A.
Agora você já é capaz de escrever a representação de sistema mecânico
simples e de sistema eletro mecânico diretamente no espaço de estados.
No próximo vídeo, vamos complicar pouco nossos modelos
acrescentando derivadas da entrada a equação diferencial do sistema.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
