Este curso lhe dará a base necessária para entender técnicas mais avançadas de controle moderno. Você aprenderá como representar a dinâmica de um sistema no espaço de estados, como analisar um sistema no espaço de estados, como projetar uma realimentação de estado e como projetar um observador de estado. A partir desde conhecimento básico você já será capaz de realizar a análise e o projeto no espaço de estados e poderá avançar em seus estudos no controle moderno.
Projeto de regulação
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle Moderno
21 classificações
Na lição
Projeto de Regulação no Espaço de Estados
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Após esse vídeo, você será capaz de projetar a realimentação de estado para
a regulação de sistema representado na forma de Jacksíbius.
Muito bem, vamos projetar a regulação exatamente como se estivéssemos projetando
a resposta ao degrau, a diferença do espaço de estados é que, como você verá,
poderemos posicionar ou alocar os auto valores do sistema onde quisermos.
Vamos iniciar fazendo projeto de avanço de fase no Plano-s.
O modelo da dinâmica do sistema é dado por G de s igual a 100 sobre s (s mais
10) (s mais 20).
Os requisitos são overshoot, ultrapassagem, sobresinal,
sobrepasso de cerca de 9,5%, e instante de pico de cerca de 400 milisegundos.
Calculamos psi igual a 0,6 e ômega N igual a dez.
E os polos desejados são menos seis mais ou menos oito J.
Projetando controlador cancelador de polo chegamos a C de s igual a 32,5,
s mais 10 sobre s mais 24,5.
Simulando o sistema com esse controlador obtemos uma resposta com
overshoot de 8,92% e instante de pico de 425 milisegundos.
O overshoot é menor e o instante de pico maior por causa do terceiro polo do
sistema que malha fechada está menos 32,5.
Se o terceiro polo estivesse bem mais afastado o efeito dele seria bem menor.
Por exemplo, com o terceiro polo menos 120 ao invés de menos 32,5 teríamos uma
resposta ao degrau com overshoot de 9,44% e instante de pico de 402 milisegundos,
ainda pouco mais lento e mais amortecido, mas bem mais próximo do desejado.
Infelizmente, com o controlador de avanço de fase, não conseguimos ajustar a posição
do terceiro polo, mas usando realimentação de estados podemos fazê-lo.
Vamos então representar o nosso sistema na forma de Jacksíbius.
A igual a zero zero, zero zero zero, menos 200, menos 30.
B igual a zero zero.
C igual a 100 zero zero e D igual a zero.
E utilizaremos a seguinte lei de controle U é igual a menos Kx, ou seja,
o sinal de controle será uma combinação linear dos estados.
U igual a menos K1 X1, menos K2 X2, etc e etc até menos KnXn.
Nesse caso, n é igual a três.
E substituindo esse sinal de controle U é igual a menos KX na equação de estado,
podemos escrever X ponto é igual A menos BKX ou X ponto é igual a A barra X.
Com A barra igual a A menos BK.
E note agora que na forma de Jacksíbius temos BK igual a zero zero zero,
zero zero zero, várias linhas de zero, até que na última linha temos K1, K2 até Kn.
No nosso exemplo numérico temos então: A menos BK igual a zero zero,
zero zero menos K1, menos 200 menos K2, menos 30 menos K3.
Lembrando que o polinômio característico é também o denominador da função de
transferência, o denominador da função de transferência correspondente será
determinante de sI menos A mais BK,
que é igual a S ao cubo mais (30 mais K3) S ao quadrado mais (200 mais K2)S mais K1.
E como denominador desejado é Pd de s é igual a S ao cubo mais 132
S ao quadrado mais 1540 S mais 12000 que nada mais é que (S
ao quadrado mais 12S mais 100) vezes (S mais 120).
Chegamos facilmente aos ganhos da realimentação de estado.
K1 é igual a 12000, K2 é igual a 1340 e K3 é igual a 102.
Ou seja, fazendo o sinal de controle ser U igual
a menos 12000X1 menos 1340X2 menos 102X3.
Os auto valores da matriz de sistema que correspondem aos polos da função de
transferência estarão menos seis mais ou menos oito J e menos 120.
Podemos generalizar esse problema para o caso literal de ordem N.
A função de transferência terá a forma G de s igual a beta1 S elevado a N menos
mais, mais, mais, mais beta N sobre S elevado a N, mais alfa 1,
S elevado a N menos mais, mais, mais, mais alfa N menos S, mais alfa N.
E na forma de Jacksíbius temos matrizes sistema A com coluna de N menos zeros,
submatrizes identidade N menos por N menos
e coeficientes do denominador com o sinal trocado e na ordem inversa.
Matriz de entrada B com N menos zeros e na última linha,
coeficientes do numerador na matriz de saída C, na ordem inversa.
Com base nos requisitos de desempenho,
determinamos as posições dos polos desejados.
Normalmente, par de segunda ordem e os demais polos mais afastados.
Multiplicamos os termos e temos o denominador desejado para a função de
transferência ou polinômio característico desejado.
Vamos chamar os coeficientes desse polinômio de gama.
Pd de s vai ser igual a S elevado a N mais gama 1 S elevado a S menos mais,
mais, mais, mais gama N menos S mais gama N.
Como estamos usando a Representação de Jacksíbius,
A menos BK terá uma forma bem peculiar.
A menos BK será igual a vetor coluna de zeros, matriz identidade N menos por N
menos e na última linha teremos menos alfa N menos K1, menos alfa N menos menos K2,
menos, menos, menos, até menos alfa 1 menos Kn.
E a equação característica de A menos BK será S elevado a N
mais alfa 1 mais Kn, S elevado a N menos mais, mais, mais,
mais alfa N menos mais K2 S mais alfa N mais K1.
Igualando os coeficientes do polinômio desejado e da equação
característica da direita para a esquerda temos: alfa N mais K1 igual a gama N,
alfa N menos mais K2 igual a gama N menos até alfa 1 mais Kn igual a gama
1 ou K1 é igual a gama N menos alfa N, K2 igual a gama N menos menos alfa N menos.
Até Kn igual a gama 1 menos alfa 1.
Ou seja, os ganhos de realimentação de estado são simplesmente os coeficientes
desejados menos os coeficientes originais.
Vamos voltar ao exemplo numérico.
Polinômio desejado S ao cubo mais 132 S ao quadrado mais 1540 S mais 12000.
Polinômio original S ao cubo mais 30 S ao quadrado mais 200 S mais zero.
Eu acrescentei o zero apenas para a visualização ficar mais clara.
Então, temos K1 é igual a 12000 menos zero, que é igual a 12000.
K2 é igual a 1540 menos 200 que é igual a 1340 e K3 é igual a 132 menos
30 que é igual a 102.
Pronto.
Simples assim.
Se você preferir você pode numerar os coeficientes da direita para a esquerda
ao invés de da esquerda para a direita, mas basta lembrar que o K1 é função dos
coeficientes de S elevado a zero, o K2 os coeficientes de S a primeira e assim por
diante, até que o Kn é a função dos coeficientes de S elevado a N menos 1.
Note que os coeficientes do numerador da função de transferência não interferiram
nada nosso projeto de realimentação do estado.
Uma vez que os auto valores malha fechada são função de A, B e de K, mas não de C.
E na forma de Jacksíbius os coeficientes do numerador estão na matriz C.
Você está desconfiado, não está?
Está muito fácil, não?
Será que é só isso mesmo?
Sim. É só isso.
Se você tiver o sistema na forma de Jacksíbius basta determinar o polinômio
desejado e fazer simples subtrações para obter os ganhos da realimentação
do estado.
Nosso investimento modelo pouco mais complicado retornou na forma de
projeto simples e elegante e com a possibilidade de posicionar todos os auto
valores ou todos os polos onde quisermos.
E agora você já é capaz de projetar a realimentação de estado para
sistema na forma de Jacksíbius.
No próximo video veremos mais exemplo de projeto.
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