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Após esse video, você será capaz de usar o MATLAB para projetar a realimentação de
estado e o observador de estado.
Projetar a realimentação de estado para sistema na forma canônica controlável não
tem muita graça.
Então, vamos usar exemplo que não está na FCC.
Digite A igual a zero zero zero zero menos 200, zero zero menos 30.
B igual a 50 zero transposto, C igual a zero zero.
Sys igual a Ss, A, B, C, zero.
O polinômio desejado é S ao cubo mais 62 S ao quadrado, mais 700 S, mais 5000.
Então, digite Pd igual a 62 700 5000.
Mas, no MATLAB não vamos usar o polinômio desejado, vamos usar os polos desejados.
Digite agora P igual a roots Pd.
P contém os polos desejados do sistema.
Poderíamos ter definido P diretamente também digitando P igual a menos
seis mais oito vezes J, menos seis menos oito vezes J, menos 50.
Não importa se P é vetor linha ou vetor coluna.
Ele só precisa ter os polos desejados.
Temos o sistema e o requisito.
Vamos agora verificar se o sistema é controlável.
Você pode criar a matriz de controlabilidade digitando Pc igual a B,
A vezes B ao quadrado vezes B ou pode usar a função CTRB no MATLAB.
Pc igual a CTRB A B.
Note que a matriz Pc criada é exatamente a mesma.
A função CTRB verifica a dimensão da matriz A e já constrói
a matriz de controlabilidade correspondente.
Digite agora dat de Pc.
Como o determinante da matriz de controlabilidade é diferente de zero,
o sistema é controlável.
Já vamos verificar a observabilidade.
Você pode criar a matriz de observabilidade manualmente.
Po é igual a C, C vezes A, C vezes A ao quadrado.
Pode usar a dualidade e a função.
CTRB, Po igual a CTRB de A transposto, C transposto, tudo transposto.
Ou você pode usar a função OBSV.
Po é igual a OBSV de A C.
Verificamos o determinante da matriz de observabilidade.
Dat de Po, que é diferente de zero.
E portanto, o sistema é observável.
Agora talvez você esteja achando que vamos precisar escrever o determinante de Si
menos A mais Bk e depois usar o MATLAB para resolver o
sistema de equações resultante.
Bem, a coisa é bem mais simples que isso.
Digite K igual a acker de A B P.
Ou K igual a place de A B P.
Essas duas funções servem para projetar os ganhos de realimentação
de estado para posicionar os polos do sistema com
matrizes A e B nas posições dadas pelo vetor P.
A função acker só funciona para sistema sisu e a função place possui algumas
limitações para alocar polos repetidos, isso é, mais de polo na mesma posição.
Tente acker de A B menos 20, menos 20, menos 20.
E place de A B menos 20, menos 20, menos 20.
Mas, voltando ao nosso problema, digite eig de A menos B vezes K.
Muito bem.
Os autovalores de A menos B K são menos 50 e menos 6 mais ou menos 8J como queríamos.
E agora precisamos projetar o observador de estado.
E para isso usamos a dualidade, podemos usar também acker ou place.
Só que usamos A transposto e C transposto no lugar de A e B.
Vamos alocar os polos do observador menos 18, mais ou menos 24 J e menos 30.
Digite L igual a place de A transposto, C transposto, menos 18,
mais 24 vezes J, menos 18, menos 24 vezes J, menos 30.
Tudo isso transposto.
E aqui temos o vetor de ganhos do observador de estado.
Para ver cada dos ganhos individualmente digite: L1, L2 e L3.
Você não está reconhecendo esses ganhos do observador porque no exemplo de
projeto de observador as matrizes A, B e C eram diferentes.
Refaça o projeto MATLAB usando as matrizes do exemplo e você deve chegar aos
mesmos ganhos do vídeo de exemplo.
Assim, para finalizar, antes de passarmos para a simulação de simulink,
mais duas coisinhas.
Se estiver fazendo projeto de rastreamento com ajuste de ganho, basta digitar N igual
a menos dividido por C vezes invi de A menos B, vezes K, vezes B.
E se estiver fazendo projeto de rastreamento com ação integral,
faça: A aumentado, AA igual a A, vírgula zeros, size B,
ponto e vírgula, menos C zero.
Ba igual a B ponto e vírgula zero e, no nosso exemplo,
Pa igual a menos seis mais oito vezes J, menos seis,
menos oito vezes J, menos 50, menos 50.
Ka igual a acker Aa, Ba, Pa.
E você pode separar K aumentado K e Ki fazendo K igual a Ka,
dois pontos três, Ki igual a menos Ka quatro.
Se a ordem do sistema for diferente, os índices deverão ser alterados.
Para conferir se o vetor Ka foi calculado corretamente, eig de Aa menos Ba vezes Ka.
Note que o observador continua sendo de terceira ordem e não precisa
ser reprojetado, mesmo que você esteja usando ação de controle integral.
E agora você já é capaz de usar o MATLAB para projetar a realimentação de estado e
o observador de estado.
No próximo vídeo,
você verá como construir a simulação de sistema no espaço de estados simulink.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
