Este curso lhe dará a base necessária para entender técnicas mais avançadas de controle moderno. Você aprenderá como representar a dinâmica de um sistema no espaço de estados, como analisar um sistema no espaço de estados, como projetar uma realimentação de estado e como projetar um observador de estado. A partir desde conhecimento básico você já será capaz de realizar a análise e o projeto no espaço de estados e poderá avançar em seus estudos no controle moderno.
Observabilidade
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle Moderno
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Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Após esse vídeo, você será capaz de explicar o que é a observabilidade e será
capaz de verificar se o sistema é ou não observável.
Primeiro é preciso deixar claro que a observabilidade não é uma característica
do sistema propriamente dito,
mas de uma representação ou realização no espaço de estados.
Mesmo sistema, ou uma mesma dinâmica, ou uma mesma função de transferência,
pode ter uma representação observável e outra não observável.
Falar sobre a observabilidade de sistema,
ou que sistema é observável é abuso de linguagem.
Vamos ver então a definição de observabilidade de sistema, ou melhor,
a definição de observabilidade de uma realização.
Uma realização de sistema no espaço de estados, ou mais especificamente,
o par AC é dito de estado observável se para a qualquer tempo Tf maior que T zero,
o estado inicial puder ser determinado a partir dos históricos da entrada U
de T e da saída Y de T, no intervalo T zero a Tf.
Caso contrário, a realização é de estado não observável.
Outras palavras, se uma realização é observável então, teoricamente,
é possível obter o histórico do estado a partir das medidas Y de T e de U de T para
determinado intervalo de tempo.
E o que isso tem a ver com a alocação dos polos do observador de estado?
Pois é, do mesmo modo que a definição de controlabilidade não está relacionada
diretamente com a possibilidade ou não de alocar os polos do
sistema arbitrariamente,
a definição de observabilidade não está relacionada diretamente
com a possibilidade ou não de alocar os polos do observador arbitrariamente.
Mas a condição para podermos alocar os polos do observador arbitrariamente é
a mesma condição para a observabilidade.
Ou seja, apesar da definição de observabilidade não estar relacionada com
a existência ou não da solução do problema de alocação de polos do observador,
a condição necessária suficiente para que
sistema seja observável é exatamente a mesma condição necessária o suficiente
para que os polos do observador sejam alocáveis.
Por isso usamos os termos observabilidade e sistema observável
como sinônimos da possibilidade da alocação dos polos do observador.
E qual é essa condição necessária e suficiente?
Dualidade, matriz de controlabilidade.
Se a matriz de controlabilidade é Pc igual a B, AB ao quadrado B até A N menos B.
Como seria a matriz de observabilidade de Po?
Vamos transpor a matriz de controlabilidade e usar B barra e A barra
no lugar de A e B, onde B barra é C transposta e A barra é A transposta.
Vamos substituir as matrizes barra pelas matrizes transpostas e agora vamos
transpor a matriz.
A matriz de observabilidade de sistema, é então: Po é igual a C,
C A, C ao quadrado, até C A N menos.
E para que sistema SISO seja observável é preciso que o determinante da matriz de
observabilidade seja diferente de zero.
E se o determinante de Po é diferente de zero,
podemos alocar os autos valores do observador arbitrariamente.
Então, se sistema é observável podemos alocar os polos do observador
arbitrariamente.
Mais uma observação: a rigor, conforme você viu na definição dada pelo
Professor Jhatof, o nome completo é 'de estado controlável'.
Mas como já somos bons amigos nós chamamos apenas de observável.
Ambiente mais formal pode ser necessário usar o nome completo.
E agora passamos a chamar a forma de Jackman de forma canônica observável,
representação canônica observável, ou realização canônica observável.
E se sistema SISO está na forma canônica observável,
o determinante da matriz de observabilidade será
diferente de zero e podemos alocar os polos do observador arbitrariamente.
Se ele não estiver na forma canônica observável, construímos a matriz de
observabilidade e se o determinante desta matriz for diferente de zero, o sistema
será observável e também poderemos alocar os polos do observador arbitrariamente.
Mas se o determinante da matriz de observabilidade for zero,
não poderemos alocar os polos do observador arbitrariamente.
Para fixar: forma canônica observável, vetor linha linha de zeros, sob matriz de
identidade e coeficientes com sinal trocado e ordem inversa na última coluna.
Coeficientes com o mesmo sinal e na ordem trocada,
vetor de zeros com o último elemento igual a.
Uma observação: você pode encontrar a forma canônica observável com as variáveis
de estado com a ordem invertida.
E agora você já é capaz de explicar o que é a observabilidade e de verificar se
sistema é ou não observável.
E pode parar de chamar a forma canônica observável de forma de Jackman.
No próximo vídeo, veremos exemplo numérico de projeto de observador de estado.
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