Após esse vídeo você será capaz de explicar o princípio da separação.
Muito bem, nós vimos primeiro como projetar a realimentação do estado
para a regulação e para o rastreamento, tanto com o ajuste de ganho,
quanto com ação integral considerando que teríamos todas as variáveis de estado para
usar na realimentação.
E depois vimos que caso não tenhamos acesso a todas as variáveis de estado,
podemos usar observador de estado para estimá-las.
E talvez você esteja se perguntando: o uso do estado estimado não vai afetar o
projeto da realimentação do estado?
Ou outras palavras: os polos dos sistemas estarão nos lugares desejados mesmo com o
uso do estado estimado no lugar do estado verdadeiro?
E a resposta é sim.
A dinâmica do sistema com realimentação do estado não depende do uso ou não
do observador.
Ela será a mesma tanto com o estado real, quanto com o estado estimado.
Ou seja, podemos projetar a realimentação do estado e o observador do estado de
forma totalmente independente.
Podemos projetar a realimentação sem saber se vamos usar o estado ou uma
estimativa dele.
E esta possibilidade de projeto totalmente independente,
ou totalmente separado damos o nome de Princípio da Separação.
Mas você não precisa acreditar cegamente mim.
Vamos fazer uma mostração do princípio da separação.
E para isso vamos juntar a dinâmica do sistema e a dinâmica do erro,
ou do observador único modelo no espaço do estados.
Temos a equação de estado do sistema X ponto é igual a X mais Bu e a equação de
estado do observador X chapéu ponto, igual a A X chapéu mais Bu, mais L Y,
menos Y chapéu.
E vamos considerar a realimentação do estado para a regulação,
isto é, U é igual a menos K X; ou melhor, U é igual a menos K X chapéu.
Se quiser, você pode fazer a mesma coisa para o rastreamento com o ajuste de ganho
e para o rastreamento com ação integral.
E agora vamos criar super vetor de estado, que é a concatenação
do vetor de estado X e dor vetor de erro E, que é X menos X chapéu.
A derivada deste super estado é a derivada do estado concatenada com a derivada do
erro de estimação.
Que já sabemos que é A menos LC, vezes o próprio erro.
Substituindo o sinal de controle por menos K X chapéu,
que podemos escrever como menos K X menos E, já que E é igual a X menos X chapéu.
Podemos agora reagrupar os termos referentes a X ponto e
podemos escrever a dinâmica de nosso super estado,
com uma supermatriz multiplicada pelo próprio super estado.
E como esta supermatriz é uma matriz bloco-triangular,
os autovalores dela serão os autovalores dos blocos da diagonal principal.
Isso é, os autovalores da supermatriz serão os autovalores de A menos Bk,
mais os autovalores de A menos LC.
Isso quer dizer que independentemente dos valores do vetor L teremos sempre
os mesmos autovalores de A menos Bk.
Então o projeto de realimentação do estado realmente é independente do projeto do
observador do estado.
E agora você já é capaz de explicar o princípio da separação.
Nos próximos vídeos faremos uma revisão do que você já aprendeu usando o Matlab.
Sim, acho que você estava sentindo falta do Matlab, não?
Afinal, Matlab vem de Matrix Laboratory, ou Laboratório de Matrizes.
E trabalhar no espaço de estados é basicamente trabalhar com matrizes.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
