Alguns casos pode até ser que tenhamos acesso a todas as variáveis de estado para
realimentá-las.
Outros, podemos acrescentar sensores ao sistema.
Mas normalmente teremos acesso apenas a saída do sistema e teremos que usar
observaador de estado para implementar a realimentação do estado.
Após este vídeo,
você será capaz de explicar a equação da dinâmica do observador do estado,
que é: X chapéu ponto, igual a A X chapéu, mais Bu mais L, Y, menos Y chapéu.
Ou, X chapéu ponto igual a A X chapéu, mais Bu, mais L, Y, menos C, X chapéu.
Muito bem.
Queremos estimar o estado de sistema.
Temos acesso a entrada do sistema e a saída dele,
mas não temos acesso ao vetor de estado.
Temos conhecimento de sua equação de estado e de sua equação de saída,
X ponto é igual a A, X mais Bu e Y é igual a C X.
O que podemos fazer?
Uma primeira tentativa seria copiar a dinâmica, criando novo sistema X chapéu
ponto, igual a A X chapéu, mais Bu, onde X chapéu é a estimativa do estado.
Se conseguirmos reproduzir exatamente a mesma dinâmica e se usarmos exatamente o
mesmo estado inicial, isto é, se tivermos A, B e X zero e se não tivermos
nenhuma perturbação no sistema, o que termos práticos é simplesmente impossível,
o estado estimado, X chapéu, corresponderá exatamente ao estado X.
Na prática temos erros de modelamento,
não temos acesso ao estado inicial e temos perturbações.
Desse modo, podemos ter erro de estimação considerável.
Além disso,
não temos nenhum parâmetro de ajuste para alterar a dinâmica do erro de estimação.
Temos ainda outro problema.
Se o sistema for instável o estimador também será instável.
E agora, quem poderá nos defender?
A realimentação.
Sim. Que tal realimentar o sinal de erro,
como se o observador fosse sistema sendo controlado?
O erro de estimação é X menos X chapéu.
O que queremos menos o que temos.
Nós temos X chapéu mas não temos X para produzir este sinal de erro.
Então ao invés de usar o sinal de erro de estimação do estado
vamos usar o erro de estimação da saída.
Temos acesso ao sinal de saída Y, e podemos construir a saída estimada
Y chapéu, multiplicando a matriz de saída C pela estimativa do estado.
Multiplicamos este erro de estimação da saída, por vetor de ganhos L,
e a equação do observador de estado fica: X chapéu ponto,
igual a A X chapéu, mais Bu, mais L, Y, menos Y chapéu.
E agora temos fator de ajuste, que é o vetor de ganhos L.
Vamos ver como fica a dinâmica do erro de estimação de estado.
O erro é X, menos X chapéu.
A derivada do erro, é a derivada de X, menos a derivada de X chapéu.
Substituímos a equação de estado e a equação do observador,
para obter a dinâmica do erro.
Cancelamos os termos comuns e colocamos a matriz A evidência.
Vamos escrever agora Y como C vezes X e colocar C evidência com L.
Lembrando agora que o erro X menos X chapéu,
podemos escrever E ponto é igual a A vezes E menos LC vezes E.
Colocamos evidência a esquerda e chegamos a E ponto é igual a A menos LC, vezes E.
Ou seja, a dinâmica do erro é definida pela matriz A, menos LC.
E projetando corretamente o vetor de ganhos L podemos definir esta dinâmica.
Agora você já é capaz de explicar a equação da dinâmica do observador de
estado.
No próximo vídeo, você verá que o projeto do observador de estado é muito parecido
com o projeto da realimentação de estado.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
