Você já aprendeu como representar uma equação diferencial ordinária e de ordem N como conjunto de N equações diferenciais de primeira ordem. Após esse vídeo, você será capaz de representar conjunto de N equações diferenciais de primeira ordem no espaço de estados. Vamos pegar as N equações diferenciais de primeira ordem desenvolvidas anteriormente e vamos empilhá-las vetor. X1 ponto igual a X2, X2 ponto igual a X3, X3 ponto igual a X4, assim por diante até que X N menos ponto igual a X N e X N ponto é igual a menos alfa 1 X N menos alfa 2 X N menos menos, menos, menos, menos alfa N menos X2, menos alfa N X 1 mais U. Vamos agora transformar esse vetor de equações uma equação vetorial colocando o lado esquerdo das igualdades vetor e o lado direito outro vetor. Temos então X1 ponto, X2 ponto, X3 ponto, assim por diante, até X N menos ponto e X N ponto igual a X2, X3, X4, assim por diante, até X N e menos alfa 1 X N menos alfa 2 X N menos menos, menos, menos, menos alfa N menos X 2 menos alfa N X 1 mais U. Note que continuamos com as N equações diferenciais de primeira ordem, já que para que dois vetores sejam iguais precisamos que os elementos correspondentes sejam iguais, vamos separar o lado direito da equação vetorial dois vetores, deles apenas com os fatores que contém as variáveis de estado e sem a entrada, e o outro apenas com fatores da entrada. E agora vem a matemática, mas primeiro uma preparação para a matemática. Vamos ordenar as somas de X1 até X N e vamos completar os vetores com zeros. Note que ao inserirmos os fatores com zeros e ao alterarmos a ordem não alteramos realmente as equações, para a primeira linha, por exemplo, continuamos com X1 ponto igual a X2. E agora prestem atenção! Nada nesta mão, nada nesta mão. Jacshow varinha. Varinha de Sabugueiro nesta mão e jazarás, jetrion, jintos. Note que continuamos com nossas N equações de primeira ordem, X1 ponto igual a X2, X2 ponto igual X3 e assim por diante até que X N ponto igual a menos alfa 1 X N, menos alfa 2 X N menos menos, menos, menos, menos, menos alfa N menos X2, menos alfa N X1 mais U. Basta fazer a multiplicação da matriz pelo vetor. Chamamos agora o vetor com X1 até X N de X. A matriz que multiplica esse vetor de A e a matriz coluna que multiplica a entrada de B e podemos escrever X ponto igual a A X mais B U, onde X igual a X1, X2, X3 e assim por diante, até X N menos e X N. A igual a zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero, zero zero zero zero zero zero zero menos alfa N menos alfa N menos menos, menos, menos, menos alfa 2 menos alfa 1 e B igual a zero zero zero zero zero zero zero. Para que esse modelo fique completo, precisamos ainda relacionar a saída com o vetor X, o que nesse caso é bastante simples. Como X1 é igual a Y, podemos escrever Y é igual a X1 mais zero X2 mais zero X3, mais, mais, mais, mais zero X N menos mais zero X N. Que na forma vetorial fica Y é igual a C X mais D U, onde C é igual a zero zero zero zero e D igual a zero. So lembrando, a equação X ponto é igual a X mais B U é chamada de equação de estado e a equação Y é igual a C X mais D U é chamada de equação de saída, o vetor X é o vetor de estado e seus elementos são as variáveis de estado. A matriz A é chamada de matriz de sistema, a matriz B é a matriz de entrada, a matriz C é a matriz de saída e a matriz D é a matriz de transmissão direta. Note que nossa matriz A tem uma forma bem peculiar e podemos dividi-la três submatrizes. Uma matriz coluna com N menos zeros, uma matriz identidade N menos por N menos e uma matriz linha com os coeficientes da equação diferencial com o sinal trocado e com a ordem também trocada. Vamos chamar essa representação no espaço de estados, com essa matriz A peculiar e matriz coluna B apenas com o último elemento diferente de zero, de forma interessante 1, ou forma de Jacksíbius. Depois vamos mudar esse nome. E agora você é capaz de escrever diretamente a forma de Jacksíbius a partir da equação diferencial. Vamos ver exemplo, a equação diferencial é Y três pontos mais 13 Y dois pontos mais 32 Y ponto mais 20 Y igual a U. As matrizes A, B e C da representação na forma de Jacksíbius são A igual a (zero zero, zero zero menos 20 menos 32 mesmo 13), B igual a (zero, zero, um) e C igual a (um zero zero). Lembre-se, matriz A com colunas de zeros a esquerda, matriz identidade N menos por N menos e coeficientes da equação diferencial com sinal trocado e ordem trocada na última linha. E o único elemento não nulo da matriz B é o último elemento. Agora você já é capaz de representar conjunto de N equações diferenciais de primeira ordem no espaço de estados. No próximo vídeo, você verá como escrever a representação de circuito elétrico diretamente no espaço de estados.
