Para encerrar a modelagem do espaço de estados vamos explorar pouco o iceberg abaixo da superfície. Vamos ver como representar a dinâmica de sistema não linear simples no espaço de estados e como linearizar esta dinâmica diretamente no espaço de estados. O sistema que vamos modelar e linearizar é pêndulo simples. Ele é composto de uma esfera de massa m, presa a pivot por uma haste de comprimento L. A entrada de nosso sistema é torque u aplicado ao pivot e a saída é o ângulo teta entre a haste do pêndulo e a vertical. Além do torque u, o pêndulo está sujeito à ação da gravidade. Temos que a soma dos torques é igual ao momento de inércia, desaceleração angular e o momento de inércia do pêndulo é dado pela massa vezes o comprimento da haste ao quadrado. Temos a força da gravidade atuando sobre a massa do pêndulo mas consideramos apenas a força tangencial dada por m g seno teta, já que consideramos que a haste é rígida e contrapõe a força radial. Finalmente o torque devido à força tangencial é dado pela força tangencial vezes o comprimento da haste L. Somatório dos torques u menos m g L seno teta igual ao momento de inércia m vezes L ao quadrado vezes aceleração angular, teta dois pontos. Normalizamos a equação dividindo os dois lados por m L ao quadrado e reorganizamos os termos chegando a teta dois pontos mais g sobre L seno de teta igual a sobre m L ao quadrado vezes u. Esta é a equação diferencial do sistema e ela é não linear já que temos o seno de teta mas isso não nos impede de fazermos a mesma escolha de variáveis de estado que tínhamos feito anteriormente. O estado x1, que será a saída, que neste caso é teta, e o estado x2 que será a derivada da saída y ponto que é teta ponto. x1 ponto é igual a teta ponto, que é x2 e x2 ponto é igual a teta dois pontos que, da equação diferencial do sistema, é menos g sobre L seno teta mais sobre m L ao quadrado u. E agora podemos representar a EDO do sistema no espaço de estados com a equação de estado no formato x ponto igual a f de x u e a equação de saída no formato y igual a g de x1, onde f de x u é vetor coluna com funções que podem ser lineares ou não e g de x u é uma função que pode ou não ser linear. No caso de múltiplas saídas, g de x u também seria vetor. Para nosso exemplo temos f1 de x u igual a x2 e f2 de x1 é igual a menos g sobre L seno de x1 mais sobre m L ao quadrado e g de x u é igual a x1. E temos nossa equação diferencial ordinária, não linear, de segunda ordem representado no espaço de estados por duas equações diferenciais de primeira ordem, uma delas não linear. Só que nós não vimos e nem vamos ver nesse curso como tratar a sistemas não lineares o que podemos fazer então? Bem, podemos estudar o comportamento do sistema para pequenas variações torno de ponto de operação, aproximando o modelo não linear por modelo linear. Considere que temos modelo não linear no espaço de estados x ponto igual a f de x u e y igual g de x u. Considere também que para uma entrada constante denotada por u barra, o estado tenderá para vetor constante x barra e a saída para valor constante y barra. Neste caso poderemos estudar a relação entre pequenas variações do sinal de entrada e pequenas variações no estado e no sinal de saída através de modelo linear. Podemos, por exemplo, estudar a dinâmica do pêndulo para pequenas variações torno de ângulo de 30 graus. Estas pequenas variações serão denotadas por delta u, delta x e delta y respetivamente. Temos então u de t igual a u barra constante mais delta u de t, x de t é igual a u barra constante mais delta u de t e y de t é igual a y barra constante mais delta y de t. E o que vamos fazer é relacionar delta u com delta x e delta y através de uma representação linear no espaço de estados. Mas primeiro vamos relacionar u barra e y barra através de x barra. Para isso consideramos que tanto o estado quanto a saída do sistema tendem a valores constantes e igualamos a derivada do estado a zero. Temos então f de x barra, u barra igual a zero e y barra é igual a g de x barra, u barra. Vamos usar as equações do pêndulo para exemplificar o procedimento. Temos f1 de x barra, u barra igual a x2 barra, e f2 de x barra, u barra igual a menos g sobre L seno de x1 barra mais sobre m L ao quadrado, u barra. Como as duas funções precisam ser zero para que o vetor seja zero, temos x2 barra igual a zero e menos g sobre L seno de x1 barra mais sobre m L ao quadrado, u barra igual a zero. Ou seno de x1 barra igual a sobre m g L, u barra. Aplicando a função arco seno dos dois lados da equação chegamos a: x1 barra igual a arco seno de sobre m g L vezes u barra. Temos então o vetor x barra com x1 barra igual a arco seno 1 sobre m g L, u barra e x2 barra igual a zero. E como nosso exemplo y é igual a x1, temos y barra igual x1 barra que é igual a arco seno de 1 sobre m g L vezes u barra. Muito bem, conseguimos determinar o ponto de operação, que também pode ser chamado de ponto de equilíbrio. Só lembrando, a hipótese de que fizemos é que para uma entrada constante tanto o estado como a saída tendiam para valores constantes e sendo o estado constante usamos a igualdade, f de x barra u barra igual a zero para determinar x barra e y barra. Vamos usar exemplo numérico: massa de quilo, aceleração da gravidade de 9,8 metros por segundo ao quadrado e haste com metro de comprimento. E o u barra será torque de 4,9 Newton metros. Substituindo os valores temos arco seno 0,5 que é aproximadamente 0,5 radianos ou trinta graus. Note que como eu normalmente uso todas as grandezas no sistema internacional de unidades eu posso omitir as unidades da notação, mas se preferir você pode usar a a notação completa. E para outros valores de torque constante, teremos outros valores de saída constante. Muito bem, já temos nosso ponto de operação, u barra, x barra, y barra, precisamos agora relacionar as variações da entrada com as variações do estado e da saída, através de modelo linear. Não vou entrar detalhes mas o que fazemos é uma expansão série de Taylor das funções torno do ponto de operação. E então aproximamos as funções pelos termos de primeira ordem das expansões. Muito difícil? Está bom eu vou reduzir. A matriz A do modelo linearizado será composta das derivadas parciais das funções f1 até fn com a relação às variáveis de estado x1 até xn. E essas derivadas parciais devem ser calculadas no ponto de operação x barra, u barra. Não entendeu ainda? Espere o exemplo, apenas lembre que cada função tem sua linha e cada variável tem sua coluna. A matriz B será composta das derivadas parciais das funções f1 até fn, com relação à entrada e essas derivadas parcais também devem ser calculadas no ponto de operação x barra, u barra. Novamente note que cada função está uma linha diferente. No caso MIMO, cada entrada estaria numa coluna diferente. A matriz C será compostas das derivadas parciais da função g com relação às variáveis de estado x1 até xn e você já deve saber que essas derivadas parciais devem calculadas no ponto de operação x barra, u barra. Se tivermos mais que uma saída, teremos uma linha para cada saída e para cada função correspondente. Finalmente a matriz D será composta pela derivada parcial da função g com relação à entrada u. Novamente calculada no ponto de operação x barra, u barra. Normalmente d será zero. Voltando ao nosso exemplo temos f1 igual a x2, f2 é igual a menos g sobre L seno de x1 mais sobre m L ao quadrado u e g é igual a x1. A matrix A terá duas linhas, uma para f1 e outra para f2 e uma para x1 e outra para x2. Derivada de x2 com relação a x1 é igual a zero, derivada de x2 com relação a x2 igual a 1. Derivada de menos g sobre L, seno de x1 mais sobre m L ao quadrado u relação a x1 igual a menos g sobre L cosseno de x1. E derivada de menos g sobre L seno de x1 mais sobre m L ao quadrado u com relação a x2 igual a zero. E agora talvez você esteja se perguntando "Mas eu só troquei o seno por cosseno, ainda tem uma não linearidade para x1". E eu respondo "Não, pois ainda temos que acopular o cosseno de x1 no ponto de operação". Então temos menos g sobre L cosseno de x1 barra, que é número e não uma função. No nosso exemplo numérico tínhamos x1 barra aproximadamente 0,52 e cosseno de 0,52 é aproximadamente 0,87, vezes 9,8 divido por temos menos g sobre L cosseno de x barra aproximadamente menos 0,85. Fazendo a mesma coisa para B, C e D chegamos ao nosso modelo linearizado que relaciona pequenas variações da entrada como pequenas variações do estado e da saída. Apenas lembre que a saída será a saída equilíbrio mais a variação da saída e não apenas a variação da saída e que este modelo é válido para pequenas variações e sua validade depende de quanto as funções não lineares podem ser aproximadas por funções lineares. Ou seja isso depende de cada sistema específico. Agora você já é capaz de representar a dinâmica de sistema não linear simples no espaço de estados e de linearizar esta dinâmica diretamente no espaço de estados. E isso encerra a modelagem no espaço de estados. Nos próximos vídeos trataremos da análise no espaço de estados e seguida do projeto no espaço de estados. Já está ouvindo o ronco do motor da moto e já está se vendo na estrada?
