Este curso lhe dará a base necessária para entender técnicas mais avançadas de controle moderno. Você aprenderá como representar a dinâmica de um sistema no espaço de estados, como analisar um sistema no espaço de estados, como projetar uma realimentação de estado e como projetar um observador de estado. A partir desde conhecimento básico você já será capaz de realizar a análise e o projeto no espaço de estados e poderá avançar em seus estudos no controle moderno.
Exponencial matricial usando Cayley Hamilton
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle Moderno
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Na lição
Análise no Espaço de Estados
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Após esse vídeo, você será capaz de obter a exponencial matricial, e elevado a T,
de pelo menos duas formas diferentes.
Você acabou de ver como obter a exponencial matricial através da
diagonalização da matriz de sistema.
Ou melhor, usando as matrizes de diagonalização P e P menos 1.
Mas este é método bastante trabalhoso e está limitado ao caso
que os autovalores são todos distintos.
Neste vídeo, você vai aprender a obter a exponencial matricial através de
método mais elegante que funciona também com autovalores repetidos.
Para isso, utilizaremos o Teorema de Cayley-Haminton,
que estabelece que a própria matriz é solução de sua equação característica.
Só lembrando, o polinômio característico de uma matriz é obtido calculando-se o
determinante de lambda I menos A.
E a equação característica é obtida igualando-se
o polinômio característico a zero.
Exemplo numérico?
Tudo bem, vamos reciclar a matriz A, do vídeo anterior,
e ilustrar rapidamente o Teorema de Cayley-Haminton.
Temos A igual a zero, dois, menos 1, e o polinômio característico é
obtido calculando-se o determinante de lambda menos A.
No nosso exemplo, temos lambda I menos A igual a lambda, menos 1, menos 2,
lambda mais 1.
Cuidado, erro muito comum é fazer lambda I mais A, ao invés de menos A.
Calculando o determinante, obtemos P de lambda igual a lambda ao quadrado,
mais lambda menos 2.
E a equação característica é lambda ao quadrado mais lambda menos 2,
igual a zero.
O Teorema de Cayley-Haminton estabelece que, se substituirmos lambda por A,
nesta equação, e multiplicarmos o termo independente pela matriz de identidade,
o que é bem razoável, uma vez que A elevado a zero é a Identidade,
o resultado desta equação será uma matriz com todos os elementos nulos.
Vamos verificar,
substituindo a nossa matriz numérica A no polinômio característico.
Calculamos o quadrado, e multiplicamos a identidade por 2.
E é fácil perceber que esta soma de matrizes resultará na matriz nula.
Mas qual é a utilidade do Teorema de Cayley-Haminton?
Note que, a partir do Teorema de Cayley-Haminton,
podemos concluir que somos capazes de expressar qualquer potência da matriz de
nosso exemplo com uma combinação linear da própria matriz e da matriz de Identidade.
A partir da equação característica matricial temos, para este exemplo
numérico, A ao quadrado mais A menos duas vezes Identidade, igual a zero.
Ou seja, podemos escrever A ao quadrado como menos A mais duas vezes Identidade.
Agora, vem a parte interessante.
Podemos escrever A ao cubo como A vezes A ao quadrado.
Substituindo A ao quadrado por menos A mais duas vezes Identidade temos A ao cubo
igual a menos A ao quadrado mais 2 A.
E substituindo A ao quadrado mais uma vez,
chegamos a A ao cubo igual a 3 A menos duas vezes a Identidade.
E podemos fazer algo muito parecido para A à quarta, A à quinta,
e assim por diante, para qualquer potência da matriz A.
E como e elevado a A t é uma soma de potências de A,
a conclusão à qual chegamos é que podemos escrever e elevado a A t como
uma combinação linear de A e da matriz de Identidade.
A questão é, como obter os coeficientes dessa combinação linear?
E aqui entra a Matemática novamente.
Estou achando que eu devia ter convidado o Harry Potter ou o Joe Moldor,
ao invés do Jack Snow para fazer a introdução desse curso.
Vamos voltar à equação característica, que para o nosso exemplo numérico
é lambda ao quadrado mais lambda menos 2, igual a zero.
Quais são as raízes desta equação?
As raízes de lambda ao quadrado mais lambda menos 2 igual a zero,
são menos 2 e 1.
Os autovalores da matriz A.
Coincidência?
Não! A equação dos autovalores e autovetores é
A v igual a lambda v, com v diferente de zero.
Subtraímos A v dos dois lados da equação,
escrevemos lambda v como lambda de Identidade v e colocamos v evidência.
Agora, para que essa equação tenha uma solução com v diferente de zero,
o determinante de lambda I menos A precisa ser zero.
E os valores de lambda para os quais o determinante de lambda I menos A se anula,
são os autovalores da matriz.
Uma determinante de lambda I menos A igual a zero é justamente a equação
característica da matriz A.
Ou seja, os autovalores da matriz são as raízes de sua equação característica.
Mas você já sabia disso, não sabia?
Muito bem.
A equação característica vale para cada dos
autovalores e também vale para a matriz A.
E usando a equação característica matricial,
podemos expressar potências de A, função de A e da matriz de Identidade.
E podemos fazer o mesmo com os autovalores e a equação característica.
Podemos escrever lambda ao quadrado igual a menos lambda mais 2,
lambda ao cubo igual a lambda vezes lambda ao quadrado, e assim por diante.
Ou seja, a combinação linear que vale para a matriz A,
também vale para os seus autovalores.
Vamos obter A à quarta usando isso.
A à quarta igual a alfa 4 A mais beta quarta Identidade.
Já sabemos que alfa 4 igual a menos 5 e que beta 4 igual a 6.
Mas vamos obter esses valores usando os autovalores da matriz A.
A combinação linear deve ser a mesma, tanto para a matriz A,
quanto para seus autovalores.
Vamos substituir os dois autovalores na equação.
E resolvendo esse sistema de duas equações,
chegamos a alfa 4 igual a menos 5, e beta 4 igual a 6.
Como já esperávamos.
E podemos fazer exatamente a mesma coisa para obter a exponencial ou de at.
Escrevemos a exponencial de lambda T com uma combinação linear de lambda 1.
Substituímos os dois autovalores nesta equação e resolvemos o sistema de equações
resultante.
A grande diferença, neste caso, é que os coeficientes da combinação linear carregam
as exponenciais dos autovalores vezes T.
Podemos agora substituir os coeficientes na equação e substituir as matrizes A e
Identidade.
Fazendo as multiplicações e a soma, temos a expressão para elevado a T,
que felizmente é a mesma expressão que já tínhamos obtido,
usando o método da diagonalização.
E podemos agora generalizar a obtenção da exponencial matricial,
através do método de Cayley-Haminton.
Apenas para facilitar a visualização, vou usar uma matriz 3 por 3,
mas a ideia é exatamente a mesma para matrizes de qualquer ordem.
A exponencial matricial será uma combinação linear de potências da matriz
A, até n menos 1.
Neste caso, até dois.
Para obter os coeficientes, que serão exponenciais dependentes de t,
basta lembrarmos que a combinação linear é a mesma para a matriz A e
para seus autovalores.
Substituindo os autovalores na equação, obtemos três equações com três incógnitas.
E resolvendo esse sistema de equações, obtemos os coeficientes da equação e
podemos fazer as multiplicações e a soma matricial.
Como exercício, ache o exponencial de at para a A igual a zero, zero,
zero, dois, zero, menos dois.
Pode postar seu resultado no fórum para comparar com o de outras pessoas.
E eu vou deixar o caso de autovalores repetidos como material de leitura
opcional.
Agora, você já é capaz de obter e elevado a T, pelo menos de duas formas diferentes.
Não gostou de nenhuma delas?
Tudo bem.
No próximo vídeo, veremos uma terceira forma de obter o exponencial matricial.
Através da nossa velha amiga, a Transformada de Laplace.
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