Você também sentiu uma disruptura no espaço e tempo?
Deixa pra lá!
Após esse vídeo, você será capaz de obter a exponencial matricial E elevado a T pelo
método da diagonalização.
Muito bem, você já viu que a solução do domínio do tempo da equação
de estado é Y de T igual a C E elevado a A T X de zero mais C integral de zero a T
de E elevado a A T menos Tau B U de Tau D Tau.
Mas saber a forma da solução não adianta muito se não soubermos como
calcular de forma eficiente E elevado a T, adianta?
Então, vamos ver duas maneiras de obter E elevado a T sem apelar para a transformada
de Laplace.
A primeira é diagonalizando a matriz de sistema A,
para isso vamos considerar que os auto valores da matriz A são distintos,
ou seja, não temos auto valores repetidos e a matriz A é diagonalizável.
Isto é, existe uma matriz inversível P, tal que M igual a P A P a menos
e M é uma matriz diagonal com os auto valores de A sendo os elementos da
diagonal e a matriz P a menos é a matriz composta pelos e-vetores da matriz A.
Vamos ver exemplo numérico simples.
Seja a matriz A igual a (zero dois menos um).
Os e-valores são menos dois e.
Ei, como você já sabia disso?
E os auto vetores são (um, menos dois) e (um, um).
E a matriz P a menos é então (um menos dois um).
Depois você pode ver o que acontece se ao invés de (um
menos dois um) usássemos (um menos dois).
O determinante de P a menos é três.
E P é (1/3 menos 1/3, 2/3 1/3).
Não acredita?
Faça a multiplicação.
Podemos agora verificar se M realmente será uma matriz diagonal com os auto
valores de A como elementos da diagonal principal.
Você pode refazer as contas depois com calma
ou pausar para conferir as contas agora ou pode apenas confiar mim.
Você decide.
E chegamos ao esperado, a matriz M é uma matriz diagonal.
E os elementos da diagonal são menos dois e que são os auto valores da matriz A.
E já que M igual a P A P a menos podemos multiplicar por P a menos
a esquerda e por P a direita, obtendo P a menos M P igual a A.
E agora vamos substituir A por P a menos M P na definição da exponencial
matricial ficando com E elevado a T igual a identidade mais P a menos
M P T mais P a menos M P ao quadrado T ao quadrado dois fatorial mais, mais, mais,
mais P a menos M P elevado a K T elevado a K, K fatorial mais, mais, mais, mais.
Note que podemos escrever cada elemento P a menos
M P elevado a K como P a menos M elevado a K P.
Uma vez que os P e P a menos intermediários vão se cancelar.
Observe o que acontece com (P a menos M P) ao cubo.
Multiplicamos (P a menos M P) por ele mesmo, duas vezes, eliminamos os
parênteses, fazemos as multiplicações intermediárias entre P e P a menos.
Multiplicar pela identidade não muda nada.
E juntamos os três Ms M ao cubo, além de escrever cada termo apenas
com potências de M sendo multiplicadas por P a menos a esquerda e por P a direita,
podemos escrever a identidade, no início da expressão como P a menos identidade P.
Podemos agora colocar P a menos evidência a esquerda e P
evidência a direita e vamos analisar apenas a somatória entre parênteses.
Para ilustrar o que é essa soma infinita, vamos considerar uma matriz três por três,
então M tem a forma (lambda 1 zero zero, zero lambda 2 zero, zero zero lambda 3).
Conseguentemente, M elevado a K tem a forma (lambda 1 elevado a K zero zero,
zero lambda 2 elevado a K zero, zero zero lambda 3 elevado a K).
E M elevado a K, T elevado a K, K fatorial vai ser igual
a (lambda 1 elevada a K T elevado a K sobre K fatorial zero zero,
zero lambda 2 elevado a K T elevado a K sobre K fatorial zero,
zero zero lambda 3 elevado a K T elevado a K sobre K fatorial.
Podemos agora escrever a somatória infinita como matriz de somatórias
infinitas na diagonal principal.
E cada elemento da diagonal principal nada mais é do que a exponencial do auto valor
vezes T, ou seja, a soma infinita na verdade é (E elevado a lambda 1 T zero
zero, zero E elevado a lambda 2 T zero, zero zero E elevado a lambda 3 T).
Substituindo essa matriz no lugar da soma infinita na equação da exponencial de A T,
Chegamos a E elevado a A T igual a P a menos (E elevado a lambda 1 T zero zero,
zero E elevado a lambda 2 T zero, zero zero, E elevado a lambda 3 T).
vezes P.
Ou seja, E elevado a A T é uma combinação linear das exponenciais dos auto valores.
Usando o nosso exemplo numérico de segunda ordem e realizando a multiplicação de
matrizes, chegamos a expressão para E elevado a (zero dois menos um) T.
E note que ela é uma matriz cujos elementos são combinações lineares das
exponenciais dos auto valores.
E agora você já é capaz de obter a exponencial matricial E elevado a A T pelo
método da diagonalização, desde que os auto valores da matriz A sejam distintos.
No próximo vídeo, veremos modo mais elegante de obter a exponencial matricial
que pode ser usado com auto valores repetidos.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
