Você também sentiu uma disruptura no espaço e tempo? Deixa pra lá! Após esse vídeo, você será capaz de obter a exponencial matricial E elevado a T pelo método da diagonalização. Muito bem, você já viu que a solução do domínio do tempo da equação de estado é Y de T igual a C E elevado a A T X de zero mais C integral de zero a T de E elevado a A T menos Tau B U de Tau D Tau. Mas saber a forma da solução não adianta muito se não soubermos como calcular de forma eficiente E elevado a T, adianta? Então, vamos ver duas maneiras de obter E elevado a T sem apelar para a transformada de Laplace. A primeira é diagonalizando a matriz de sistema A, para isso vamos considerar que os auto valores da matriz A são distintos, ou seja, não temos auto valores repetidos e a matriz A é diagonalizável. Isto é, existe uma matriz inversível P, tal que M igual a P A P a menos e M é uma matriz diagonal com os auto valores de A sendo os elementos da diagonal e a matriz P a menos é a matriz composta pelos e-vetores da matriz A. Vamos ver exemplo numérico simples. Seja a matriz A igual a (zero dois menos um). Os e-valores são menos dois e. Ei, como você já sabia disso? E os auto vetores são (um, menos dois) e (um, um). E a matriz P a menos é então (um menos dois um). Depois você pode ver o que acontece se ao invés de (um menos dois um) usássemos (um menos dois). O determinante de P a menos é três. E P é (1/3 menos 1/3, 2/3 1/3). Não acredita? Faça a multiplicação. Podemos agora verificar se M realmente será uma matriz diagonal com os auto valores de A como elementos da diagonal principal. Você pode refazer as contas depois com calma ou pausar para conferir as contas agora ou pode apenas confiar mim. Você decide. E chegamos ao esperado, a matriz M é uma matriz diagonal. E os elementos da diagonal são menos dois e que são os auto valores da matriz A. E já que M igual a P A P a menos podemos multiplicar por P a menos a esquerda e por P a direita, obtendo P a menos M P igual a A. E agora vamos substituir A por P a menos M P na definição da exponencial matricial ficando com E elevado a T igual a identidade mais P a menos M P T mais P a menos M P ao quadrado T ao quadrado dois fatorial mais, mais, mais, mais P a menos M P elevado a K T elevado a K, K fatorial mais, mais, mais, mais. Note que podemos escrever cada elemento P a menos M P elevado a K como P a menos M elevado a K P. Uma vez que os P e P a menos intermediários vão se cancelar. Observe o que acontece com (P a menos M P) ao cubo. Multiplicamos (P a menos M P) por ele mesmo, duas vezes, eliminamos os parênteses, fazemos as multiplicações intermediárias entre P e P a menos. Multiplicar pela identidade não muda nada. E juntamos os três Ms M ao cubo, além de escrever cada termo apenas com potências de M sendo multiplicadas por P a menos a esquerda e por P a direita, podemos escrever a identidade, no início da expressão como P a menos identidade P. Podemos agora colocar P a menos evidência a esquerda e P evidência a direita e vamos analisar apenas a somatória entre parênteses. Para ilustrar o que é essa soma infinita, vamos considerar uma matriz três por três, então M tem a forma (lambda 1 zero zero, zero lambda 2 zero, zero zero lambda 3). Conseguentemente, M elevado a K tem a forma (lambda 1 elevado a K zero zero, zero lambda 2 elevado a K zero, zero zero lambda 3 elevado a K). E M elevado a K, T elevado a K, K fatorial vai ser igual a (lambda 1 elevada a K T elevado a K sobre K fatorial zero zero, zero lambda 2 elevado a K T elevado a K sobre K fatorial zero, zero zero lambda 3 elevado a K T elevado a K sobre K fatorial. Podemos agora escrever a somatória infinita como matriz de somatórias infinitas na diagonal principal. E cada elemento da diagonal principal nada mais é do que a exponencial do auto valor vezes T, ou seja, a soma infinita na verdade é (E elevado a lambda 1 T zero zero, zero E elevado a lambda 2 T zero, zero zero E elevado a lambda 3 T). Substituindo essa matriz no lugar da soma infinita na equação da exponencial de A T, Chegamos a E elevado a A T igual a P a menos (E elevado a lambda 1 T zero zero, zero E elevado a lambda 2 T zero, zero zero, E elevado a lambda 3 T). vezes P. Ou seja, E elevado a A T é uma combinação linear das exponenciais dos auto valores. Usando o nosso exemplo numérico de segunda ordem e realizando a multiplicação de matrizes, chegamos a expressão para E elevado a (zero dois menos um) T. E note que ela é uma matriz cujos elementos são combinações lineares das exponenciais dos auto valores. E agora você já é capaz de obter a exponencial matricial E elevado a A T pelo método da diagonalização, desde que os auto valores da matriz A sejam distintos. No próximo vídeo, veremos modo mais elegante de obter a exponencial matricial que pode ser usado com auto valores repetidos.
