Este curso lhe dará a base necessária para entender técnicas mais avançadas de controle moderno. Você aprenderá como representar a dinâmica de um sistema no espaço de estados, como analisar um sistema no espaço de estados, como projetar uma realimentação de estado e como projetar um observador de estado. A partir desde conhecimento básico você já será capaz de realizar a análise e o projeto no espaço de estados e poderá avançar em seus estudos no controle moderno.
Exemplo de circuito não controlável
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle Moderno
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Na lição
Projeto de Regulação no Espaço de Estados
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Neste video você verá exemplo de circuito simples que pode ser controlável ou não,
dependendo dos valores de seus componentes.
Temos aqui nosso circuito com dois resistores e dois capacitores e a entrada
será a corrente i de t.
As nossas variáveis de estado serão as tensões dos capacitores.
X é a tensão sobre o capacitor C e X dois é a tensão sobre o capacitor C dois.
Apenas lembrando, circuitos elétricos temos que a tensão sobre
resistor é igual a sua resistência vezes a corrente que passa através do resistor.
E que a corrente que passa por capacitor é igual a sua capacitância vezes a derivada
da tensão sobre o capacitor.
Podemos então escrever que a tensão sobre o resistor R é igual a R
vezes a corrente que passa através de R.
E esta corrente é a corrente de entrada,
menos a corrente que passa pelo capacitor C.
E podemos fazer o mesmo para a tensão sobre o resistor R dois,
já que a corrente total precisa ser a mesma.
Podemos agora passar as correntes nos capacitores para o lado esquerdo das
equações e substituir as tensões sobre os resistores pelas tensões sobre os
capacitores, que devem ser iguais já que esses elementos estão paralelo.
Vamos agora escrever as derivadas dos status X ponto e X dois pontos.
E para isso usamos o fato da derivada da tensão sobre capacitor ser igual
a corrente que passa pelo capacitor dividida pela respectiva capacitância.
Basta agora substituirmos as correntes e seguida escrevermos a entrada e as
variáveis de estado no lugar da corrente e das tensões sobre os capacitores.
E reorganizamos os termos.
E basta agora colocarmos o sistema na nossa anotação matricial,
com A igual a menos sobre R C zero, zero menos sobre R dois C dois.
E B igual a sobre C sobre C dois.
Construímos a matriz de controlabilidade Pc e temos que o determinante de Pc é R
dois, C dois, menos R C sobre R R dois, C ao quadrado, C dois ao quadrado.
Ou seja, se R C for igual a R dois, C dois,
o determinante de Pc será igual a zero.
Para facilitar o entendimento do exemplo,
vamos dar valores numéricos para os componentes.
Vamos fazer C é igual a C dois que é igual a micro faraday e R
igual a R dois que é igual a micro ounce.
A matriz A fica menos zero,
zero menos um; e a matriz B fica dez a sexta, dez a sexta.
Note que neste caso podemos descrever a dinâmica
dos dois estados de forma independente.
X ponto é igual a menos X mais dez a sexta U e x dois ponto é igual
a menos X dois mais dez a sexta U.
E note também que a dinâmica dos dois estados é a mesma e não podemos
fazer com que o estado vá de valor inicial qualquer para para qualquer valor final,
já que estaremos atuando nos dois estados exatamente da mesma forma e com a mesma
dinâmica.
Por exemplo, digamos que o estado inicial seja zero e zero e que o estado
final desejado seja e menos.
Podemos levar os dois estados para ou os dois estados para menos.
Mas como eles possuem a mesma dinâmica,
não temos como levar para e o outro para menos.
Vamos tentar alocar os polos para essas matrizes A e B.
Temos A menos Bk, igual a menos menos dez a sexta K menos dez a sexta K dois,
menos dez a sexta K menos menos dez a sexta K dois.
E determinante de S I menos A, mais B k é igual a S ao quadrado,
mais dois mais dez a sexta K mais dez a sexta K dois S,
mais mais dez a sexta K mais dez a sexta K dois.
Que podemos escrever como S mais S mais mais dez a sexta K
mais dez a sexta K dois.
Ou seja, dos alto valores é sempre menos independentemente dos valores de K e K 2.
Se quisermos alocar dos polos menos temos infinitas soluções.
Mas se não quisermos nenhum polo menos não existe solução para o problema de alocação
de polos.
Vamos agora mudar R para quinhentos kilo ounce mantendo os valores dos outros
componentes.
Temos agora A igual a menos dois, zero, zero, menos.
E a dinâmica do primeiro estado é mais rápida que a do segundo estado.
Então temos como manipular os estados de forma independente.
Por exemplo, se o estado inicial for zero e zero e o estado final for
e menos podemos primeiro aplicar sinal de entrada negativo,
fazendo com que o estado vá para menos A e menos B com A maior que B, maior do que.
A será maior que B por que a dinâmica do estado X
é mais rápida que a do estado X dois.
E precisamos que B seja maior que porque ambas as variáveis de estado irão
ficar menos negativas.
Por isso, precisamos que o estado X dois passe de menos.
Seguida, aplicamos sinal de entrada positivo.
Como X aumenta mais rápido que X dois, escolhendo esses sinais negativo e
positivo adequadamente conseguimos fazer com que X dois,
X dois vá de menos B para menos enquanto X vai de menos A para.
Não entendeu?
Não se preocupe.
Pode deixar isso pra lá.
O que nos interessa é a possibilidade de alocarmos os polos arbitrariamente.
Com essa nova matriz A o determinante de S menos A mais B k fica S ao quadrado,
mais três, mais dez a sexta K mais dez a sexta K dois S,
mais dois, mais dez a sexta K mais duas vezes dez a sexta K dois.
Vamos usar polinômio desejado literal, S ao quadrado mais S mais B.
Precisamos ter três mais dez a sexta K mais dez a sexta K dois igual a A,
e dois mais dez a sexta K mais duas vezes dez a sexta K dois igual a B.
Ou dez a sexta K mais dez a sexta K dois igual a A menos três e dez a sexta K
mais duas vezes dez a sexta K dois igual a B menos dois,
que podemos escalonar ficando com dez a sexta K mais dez a sexta K dois igual
a A menos três e dez a sexta K dois igual a B menos A mais.
Podemos substituir dez a sexta K dois na primeira equação,
ficando com dez a sexta K igual a dois A menos B, menos quatro.
E as duas equações possuem solução para quaisquer valores de A e B reais,
Ou seja, como esperado, sistema com R C diferente de R dois C dois é
controlável e podemos alocar arbitrariamente seus polos.
Espero que este vídeo tenha matado sua curiosidade de saber quando
sistema não será controlável.
Isso acontece normalmente quando temos alinhamento de valores, digamos,
uma conspiração cósmica que não quer nos deixar levar o estado para onde quisermos.
Mas não precisa se preocupar com isso, pelo menos não neste curso.
O importante é você saber verificar se sistema é ou não controlável usando
a matriz de controlabilidade.
E que você saiba que se ele for controlável,
você poderá alocar todos os seus polos arbitrariamente.
E que se ele não for controlável, ou se ele for
não controlável, você não poderá alterar todos os polos do sistema.
Nos próximos vídeos trataremos o problema de rastreamento de uma entrada
degrau e você verá duas formas de fazer com que o erro regime para uma entrada
degrau seja nulo.
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