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Para o exemplo deste vídeo,
usaremos uma função de transferência de segunda ordem do tipo.
Isto é, com polo na origem.
A função de transferência é quatro sobre S ao quadrado, mais quatro S.
E as matrizes da forma canônica controlável no espaço de estados são:
A igual a zero zero menos quatro, B igual a zero e C igual a quatro zero.
Vamos usar o mesmo polinômio desejado do vídeo anterior, isto é, S ao quadrado,
mais quatro S, mais quatorze.
Como o sistema está na forma canônica controlável,
é fácil perceber que os ganhos da realimentação de estado para regulador ou
para rastreador com ajuste de ganho são K igual a quatorze e K dois igual a zero.
O regulador ficaria U igual a menos quatorze X
enquanto o rastreador ficaria U igual a menos quatorze X mais N r.
Vamos calcular N: A menos Bk, igual a zero menos quatorze, menos quatro.
O determinante de A menos Bk é quatorze e precisamos apenas de
cofator que será menos.
Então N é igual a menos quatorze sobre menos quatro, que é quatorze sobre quatro.
Não acredita?
Pause o vídeo e faça as contas com calma.
Poderíamos simplificar para sete sobre dois ou três vírgula cinco,
mas vamos deixar assim.
O sinal de controle ficará então: menos quatorze X mais quatorze sobre quatro R.
Como C igual a quatro zero temos que Y igual a quatro X
ou X é igual a Y sobre quatro.
Vamos substituir X por Y sobre quatro.
Podemos agora colocar o quatorze sobre quatro
evidência e escrever: U igual a quatorze sobre quatro, R menos Y.
Ou U é igual a quatorze sobre quatro, vezes E.
Mas isso nada mais é do que controlador proporcional com
ganho quatorze sobre quatro.
E realmente calculando a função de transferência malha fechada,
com ganho proporcional de quatorze sobre quatro chegamos a: T de S igual a quatorze
sobre S ao quadrado, mais quatro S, mais quatorze.
O denominador é o polinômio desejado.
E teremos erro nulo regime permanente para uma entrada degrau.
Note agora que se implementarmos a realimentação de estado com ajuste de
ganho, isto é, se fizermos U igual a menos quatorze, X mais quatorze sobre quatro R,
corremos o risco de termos regime para uma entrada degrau, caso o ganho
aplicado referência não seja menos quarto do ganho aplicado ao estado X.
Mas se implementarmos o controle proporcional, isto é,
se aplicarmos o ganho ao sinal de erro, teremos erro nulo
regime permanente mesmo que esse ganho não seja implementado perfeitamente.
Nesse caso então seria preferível fazermos o projeto de controlador proporcional no
plano S, ao invés de fazermos o projeto no espaço de estados.
Lembre-se, pode não valer a pena utilizar a abordagem no espaço de estados para
sistemas mais simples,
onde controlador proporcional ou avanço de fase resolvem o problema.
Usamos o espaço de estados quando precisamos posicionar além
dos polos dominantes, outros polos do sistema.
Eu ia fazer o projeto com ação integral para este mesmo exemplo,
mas me deu aquela preguiça.
Então fica como exercício.
Projete a realimentação de estado com ação integral para este exemplo,
posicionando o polo adicional menos vinte.
Depois se quiser praticar mais,
refaça os exemplos alterando o polinômio desejado e/ou as matrizes do sistema.
É bom praticar pouco para sedimentar o conhecimento.
E agora que você já é capaz de projetar a realimentação de estado para o
rastreamento de uma entrada degrau, tanto ajustando o ganho da referência,
quanto utilizando a ação integral.
Lembre-se, com o ajuste de ganho poderemos ter
regime devido a erros de modelagem e de implementação.
Se precisamos realmente de erro nulo, precisamos pagar o preço da ação integral,
que é aumentar a ordem no sistema e complicar pouco as contas.
Mas isso não é tudo.
Tem uma surpresinha guardada para o final.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
