Este curso lhe dará a base necessária para entender técnicas mais avançadas de controle moderno. Você aprenderá como representar a dinâmica de um sistema no espaço de estados, como analisar um sistema no espaço de estados, como projetar uma realimentação de estado e como projetar um observador de estado. A partir desde conhecimento básico você já será capaz de realizar a análise e o projeto no espaço de estados e poderá avançar em seus estudos no controle moderno.
Do espaço de estados para a função de transferência
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Do curso por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle Moderno
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Na lição
Modelagem no Espaço de Estados
Conheça os instrutores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Após esse vídeo, você será capaz de obter a função de transferência e a equação
diferencial ordinária do sistema a partir de sua representação no espaço de estados.
Se a representação no espaço de estados estiver na forma de Jacksíbius,
isto é, matriz A com uma coluna de zeros a esquerda e matriz identidade a direita e
apenas o último elemento da matriz B diferente de zero,
podemos escrever diretamente a equação diferencial ou a função de transferência.
Os coeficientes das derivadas da saída ou do denominador da função de transferência
são os elementos da última linha da matriz A.
Com o sinal trocado e com a ordem invertida.
E os coeficientes das derivadas da entrada ou do numerador da função de
transferência são os elementos da matriz linha C.
Com a ordem invertida.
Mas, e se a representação não estiver na forma de Jacksíbius?
Vou apresentar primeiro o procedimento direto.
Se você entender e estiver satisfeito, não precisa assistir esse vídeo até o final,
mas se não tiver entendido ou quiser fixar melhor o assunto,
assista esse vídeo até o fim.
O sistema no espaço de estados é representado pela equação de estado X
ponto é igual a A X mais B U e pela equação de saída Y é igual a C X mais D U.
Por simplicidade, vamos considerar que D é igual a zero.
Aplicamos a Transformada de Laplace diretamente a representação no espaço de
estados, obtendo para condições iniciais nulas,
S X de S igual a A X S mais B U de S e Y de S igual a C X de S.
Podemos reescrever a transformada da equação de estado como sI X de
S menos A X de S igual a B U de S, onde I é a matriz identidade.
E podemos colocar X de S evidência chegando a (sI menos A) X de S
igual a B U de S.
Multiplicando os dois lados da equação pela inversa de sI menos A,
temos X de S é igual a (sI menos A) a menos B U de S.
E podemos substituir X de S na transformada da equação de saída,
chegando a Y de S é igual a C (sI menos A) a menos B U de S.
Dividindo os dois lados por U de S obtemos: Y de S sobre U de S que
é igual a G de S igual a C (sI menos A) a menos B.
Lembrando que podemos escrever a inversa de uma matriz dividindo sua matriz adjunta
que é a matriz de seus cofatores transposta pelo determinante da matriz,
podemos ainda escrever G de S é igual a C, matriz dos cofatores de (sI menos
A) transposta sobre determinante de (sI menos A) vezes B.
Se você já entendeu como obter a função de transferência a partir da
representação no espaço de estados não precisa assistir o resto desse vídeo.
Mas, se ainda não entendeu, vamos ver exemplo numérico simples de
segunda ordem e depois vamos generalizar o procedimento.
A representação do sistema no espaço de estado é X ponto igual a dois,
três quatro, X mais dois, U e Y é igual a (um dois) X.
Só lembrando que dois, três, quatro é a nossa matriz de sistema A,
que a matriz coluna dois é a nossa matriz de entrada B,
e que a matriz linha dois é a nossa matriz de saída C.
Nesse exemplo, a matriz de transmissão direta D é nula e foi omitida.
Vamos tratar inicialmente apenas da equação de estado e começamos explicitando
o vetor X.
E vamos passar a derivada para dentro do vetor
e efetuar a multiplicação de matrizes, linha vezes coluna, linha vezes coluna.
Podemos agora fazer a soma e separar as duas equações,
ficando com X1 ponto é igual a X1 mais dois X2 mais U,
e X2 ponto é igual a três X1 mais quatro X2 mais dois U.
Aplicando a transformada de Laplace obtemos S X1 de S igual
a X1 de S mais dois X2 de S mais U de S e S X2 de
S é igual a três X1 de S mais quatro X2 de S mais dois U de S.
Vamos reorganizar essas equações passando as transformadas dos estados para
a esquerda.
Ficando com S X1 de S menos X1 de S menos dois X2 de S igual a U
de S e S X2 de S menos três X1 de S menos quatro X2 de S igual a dois U de S.
Matemática novamente?
Note que podemos escrever S X1 de S menos X1 de S menos dois
X2 de S igual a U de S como S (um zero) menos (um dois) vezes X1 de S,
X2 de S igual a U de S e S X2 de S menos três
X1 de S menos quatro X2 de S igual a dois U de S como S (zero
um) menos (três quatro) vezes X1 de S, X2 de S igual a dois U de S.
Vamos juntar essas duas equações vetoriais uma única equação matricial
e note que chegamos a (sI menos A) X de S igual a B U de S.
Coincidência?
Não.
Você pode tentar a mesma coisa com matrizes literais.
Por exemplo, X ponto é igual a (a b, c d) X mais (e f) U.
Seguindo o mesmo procedimento que acabamos de ver você deve chegar a S (um zero,
zero um) menos ( ab, cd) (X1 de S, X2 de S) igual a (e f) U de S.
Ou seja, (sI menos A) X de S igual a B U de S.
Agora, para isolar X de S a partir de (sI menos A) X de S
é igual a B U de S, precisamos lembrar que estamos trabalhando com
matrizes e não podemos simplesmente dividir B U por (sI menos A),
já que não existe uma operação de divisão de matrizes.
Precisamos multiplicar a equação pela inversa de (sI menos A) a esquerda.
A inversa de (sI menos A) vezes (sI menos A) é uma matriz identidade,
que multiplicada por X de S resulta no próprio X de S.
Temos então que X de S é igual a (sI menos A) a menos B U de S.
E aqui, novamente, precisamos do conhecimento sobre matrizes,
mas especificamente, da inversão de matrizes.
Podemos substituir a inversa de (sI menos A) pela sua matriz adjunta dividido pelo
determinante.
E temos X de S igual a adjunta de (sI menos
A) sobre determinante de (sI menos A) vezes B U de S.
Vamos voltar ao nosso exemplo numérico e obter X de S.
Tínhamos parado S (um zero, zero um) menos (um dois, três quatro) (X1 de S,
X2 de S) igual a (um, dois) U de S.
Vamos achar a inversa de (sI menos A) usando o seu determinante e a matriz dos
cofatores.
Primeiro, vamos escrever (sI menos A) como uma única matriz,
efetuando a multiplicação e a soma.
Temos então (sI menos A) igual a (S menos menos dois, menos três S menos quatro).
A matriz dos cofatores é obtida calculando-se os determinantes das
submatrizes ao suprimirmos a linha e a coluna do elemento ao qual o cofator
se refere.
Além disso, se tivermos linha ímpar e coluna par, ou vice-versa,
devemos considerar menos esse determinante.
Para o elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz dos cofatores,
suprimimos a primeira linha e a primeira coluna da matriz.
O determinante da submatriz por é o próprio elemento dessa matriz.
Como linha e coluna são ímpares, usamos o determinante com o sinal original,
ou seja, S menos quatro.
Para o elemento da primeira linha e da segunda coluna suprimimos a primeira linha
e a segunda coluna da matriz.
O determinante da submatriz é menos três, mas como estamos linha ímpar e coluna par,
o cofator é menos esse determinante, ou seja, é três.
Para o elemento da segunda linha e da primeira coluna suprimimos
a segunda linha e a primeira coluna.
O determinante da submatriz é menos dois, linha par, coluna ímpar, o cofator é dois.
Finalmente, para o elemento da segunda linha e da segunda
coluna suprimimos a segunda linha e a segunda coluna.
E como temos linha e colunas pares,
o cofator é o determinante da submatriz que é S menos.
Assim, a matriz dos cofatores de (sI menos A) é (S menos quatro 3, dois S menos um).
A matriz adjunta, que é a matriz dos cofatores transposta,
é (S menos quatro dois, três S menos um) e o determinante
de (sI menos A) é S ao quadrado menos cinco S menos dois.
Ou seja, a inversa de (sI menos A) é S menos quatro dois,
três S menos sobre S ao quadrado menos cinco S menos dois.
Para conferir se essa é realmente a inversa de (sI menos A) basta
multiplicar essa matriz que acabamos de achar por (sI menos A)
e veremos que o resultado é a matriz identidade.
Substituímos a inversa de (sI menos A) nossa equação para X de S e
efetuamos a multiplicação matricial,
linha vezes coluna: S menos quatro mais duas vezes dois é igual a S.
Linha vezes coluna: três mais duas vezes S menos dois é igual a dois S mais.
Temos então X1 de S igual a (S sobre S ao quadrado menos cinco S menos dois) U de S.
E X2 de S igual a (dois S mais 1 sobre S ao quadrado menos cinco S menos
dois) U de S.
E agora tratamos a equação de saída: Y é igual a (um dois) X,
que pode ser escrita como Y é igual a X1 mais dois X2.
Aplicando a transformada de Laplace a esta equação temos Y de S é igual a X1 de
S mais dois X2 de S e agora basta substituirmos X1 e X2 de S nessa equação,
chegando a: Y de S é igual a (cinco S mais dois sobre S
ao quadrado menos cinco S menos dois) U de S e G de S é
igual a cinco S mais dois sobre S ao quadrado menos cinco S menos dois.
Note que podemos escrever Y de S igual a X1 de S mais dois X2 de S na forma
matricial como Y é igual a (um dois) X de S, ou seja, Y é igual a C X de S.
Então, tendo uma representação do espaço de estados X ponto é igual a A X mais B U
e Y é igual a C X,
a função de transferência correspondente é dada por C (sI menos A) a menos B.
E podemos calcular a inversa de (sI menos A) como sua matriz adjunta dividida
pelo seu determinante e a matriz adjunta é a matriz dos cofatores transposta.
Se no espaço de estados tiver D diferente de zero,
ou seja, se a equação de saída for Y é igual a C X mais D U,
teremos mais D na função de transferência correspondente.
Fica como exercício verificar essa afirmação.
Agora você já é capaz de obter a função de transferência e a equação diferencial
ordinária do sistema a partir de sua representação no espaço de estados.
No próximo vídeo, você verá como representar uma função de transferência ou
uma EDO no espaço de estados de mais duas formas diferentes.
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