Opa, opa, opa, opa! Vamos abrir parênteses aqui. Lembra o que são os auto valores e auto vetores? Talvez você os conheça como eigenvalues e eigenvectors. Ou ainda como valores próprios e vetores próprios. Neste curso, eu vou me referir a eles como auto valores e auto vetores e designá-los por e-valores e e-vetores. E de vez quando, eu posso até falar e-vetor e e-valor também. Como você já deve ter imaginado, o e vem do eigen, mas mais importante que saber o nome é saber o que são os auto valores e auto vetores. Se você se lembra bem do que são e de como obter os e-valores e e-vetores de uma matriz, pode fechar o parênteses e passar para o próximo vídeo. Mas, se você não lembra ou se gostaria de fazer uma rápida recordação veja esse vídeo até o final. Dada uma matriz quadrada A com N linhas e N colunas, os e-valores e e-vetores são as soluções da equação A V igual a lambda V, onde V é vetor diferente de zero e lambda é uma escalar, isto é, número. Os valores de lambda que são solução dessa equação são os e-valores da matriz A. E os vetores que são solução dessa equação são os e-vetores da matriz A. Exemplo numérico rápido: A igual a zero dois menos. Substituímos A na equação dos e-valores e e-vetores, explicitamos o vetor V e efetuamos a multiplicação. Para termos A V igual a lambda V, precisamos ter V2 igual a lambda V1 e dois V1 menos V2 igual a lambda V2. Substituímos V2 na segunda equação e reorganizamos os termos chegando a lambda ao quadrado V1 mais lambda V1 menos dois V1 igual a zero. Podemos agora colocar V1 evidência e temos lambda ao quadrado mais lambda menos dois vezes V1 igual a zero. Melhor ainda, vamos escrever lambda ao quadrado mais lambda menos dois como lambda mais dois, lambda menos. Note agora que se V1 é igual a zero, V2 também será igual a zero e não podemos ter e-vetor nulo. Então, para que essa última equação seja verdadeira, precisamos ter lambda igual a menos dois ou lambda igual a e esses são os dois auto valores da matriz A. E agora podemos obter o e-vetor correspondente para cada valor de lambda. Para lambda igual a menos dois temos V2 igual a menos dois V1 e dois V1 menos V2 igual a menos dois V2. Mas note que a segunda equação, na verdade, é igual a primeira, ou seja, temos, na verdade, conjunto infinito de e-vetores, bastando que a segunda componente do vetor seja menos duas vezes a primeira componente. Por exemplo, e menos dois, dez e menos 20, menos cinco e dez são todos e-vetores associados ao e-valor menos dois. Podemos escrever esse conjunto de e-vetores de forma geral como A vezes (um menos dois). Com A diferente de zero. Fazendo a mesma coisa para e-valor lambda igual a chegamos a conjunto de e-vetores com a forma geral B vezes (um um) com B diferente de zero. E agora eu posso fechar o parênteses.
