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Opa, opa, opa, opa!
Vamos abrir parênteses aqui.
Lembra o que são os auto valores e auto vetores?
Talvez você os conheça como eigenvalues e eigenvectors.
Ou ainda como valores próprios e vetores próprios.
Neste curso, eu vou me referir a eles como auto valores e auto vetores e designá-los
por e-valores e e-vetores.
E de vez quando, eu posso até falar e-vetor e e-valor também.
Como você já deve ter imaginado, o e vem do eigen, mas mais importante que saber
o nome é saber o que são os auto valores e auto vetores.
Se você se lembra bem do que são e de como obter os e-valores e e-vetores de
uma matriz, pode fechar o parênteses e passar para o próximo vídeo.
Mas, se você não lembra ou se gostaria de fazer uma rápida recordação veja esse
vídeo até o final.
Dada uma matriz quadrada A com N linhas e N colunas,
os e-valores e e-vetores são as soluções da equação A V igual a lambda V,
onde V é vetor diferente de zero e lambda é uma escalar, isto é, número.
Os valores de lambda que são solução dessa equação são os e-valores da matriz A.
E os vetores que são solução dessa equação são os e-vetores da matriz A.
Exemplo numérico rápido: A igual a zero dois menos.
Substituímos A na equação dos e-valores e e-vetores,
explicitamos o vetor V e efetuamos a multiplicação.
Para termos A V igual a lambda V,
precisamos ter V2 igual a lambda V1 e dois V1 menos V2 igual a lambda V2.
Substituímos V2 na segunda equação e reorganizamos os termos chegando
a lambda ao quadrado V1 mais lambda V1 menos dois V1 igual a zero.
Podemos agora colocar V1 evidência e temos lambda ao quadrado
mais lambda menos dois vezes V1 igual a zero.
Melhor ainda, vamos escrever lambda ao quadrado mais lambda menos dois como
lambda mais dois, lambda menos.
Note agora que se V1 é igual a zero,
V2 também será igual a zero e não podemos ter e-vetor nulo.
Então, para que essa última equação seja verdadeira, precisamos ter lambda igual
a menos dois ou lambda igual a e esses são os dois auto valores da matriz A.
E agora podemos obter o e-vetor correspondente para cada valor de lambda.
Para lambda igual a menos dois temos V2 igual a menos dois V1 e dois V1
menos V2 igual a menos dois V2.
Mas note que a segunda equação, na verdade, é igual a primeira, ou seja,
temos, na verdade, conjunto infinito de e-vetores, bastando que a segunda
componente do vetor seja menos duas vezes a primeira componente.
Por exemplo, e menos dois, dez e menos 20,
menos cinco e dez são todos e-vetores associados ao e-valor menos dois.
Podemos escrever esse conjunto de e-vetores de forma geral como A vezes (um
menos dois).
Com A diferente de zero.
Fazendo a mesma coisa para e-valor lambda igual a chegamos a conjunto de
e-vetores com a forma geral B vezes (um um) com B diferente de zero.
E agora eu posso fechar o parênteses.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
