Одно из основных приложений комплексного анализа в прикладных исследованиях состоит в том, что с использованием техники интегрированной в комплексной плоскости оказывается удобно вычислять асимптотики выражений, которые получаются в результате каких-то теоретических вычислений. И сегодня мы потратим некоторое время на то, чтобы чуть-чуть познакомиться с типичной структурой получающихся при этом выражений. Для того, чтобы начать рассмотрим несложный пример на котором мы уже увидим основные свойства таких разложений - это определенный интеграл в бесконечных пределах от функции "e" в степени "-лямбда" "х" на "1+х". Сегодня мы будем рассматривать эту функцию, как функцию действительной переменной "лямбда" и более того будем считать, что "лямбда" только действительная и положительна. Можно представить себе, полезно представить себе для дальнейшего графика этой функции, назовем ее "f" от "лямбда". Она начинается с какого-то значения меньшего 1 и потом при растущем "лямбда" затухает. Эта монотонная функция действительно положительная ведущая себя примерно как показано на этом графике. Давайте вычислим и попробуем понять поведение этой функции при "лямбда" больших и положительных. Напишем, что "лямбда" много больше 1. Тогда первое свойство этого выражения, которое бросается в глаза состоит в том, что из-за фактора экспоненты, который меняется на масштабе 1 на "лямбда", этот интеграл оказывается быстро сходящимся на достаточно маленьких "х", то есть вообще говоря область сходимости этого интеграла, область в которой набирается основное значение этого интеграла, это "х" маленькие "х" порядка 1 на "лямбда", то есть много меньше 1 в интересующем нас пределе. В таком случае кажется естественным, для того, чтобы понять поведение этого интеграла при больших "лямбда" разложить дробь 1 на "1+х" в ряд Тейлора вблизи значения "х" равного 0. Я выпишу несколько первых членов этого ряда, вообще говоря у этого ряда конечная область сходимости. Как мы увидим в дальнейшем - это приведет к очень необычному поведению получившегося разложения, но пока проигнорируем это и напишем знак равенства мысленно имея в виду, что равенство как таковое справедливо тут когда ряд в правой части сходится, что происходит не при всех значениях "х", но предположим, что мы написали это разложение пока формально, подставим его выражение для нашей функции "f" от "лямбда". Вскоре мы получим общий член этого разложения, но пока посмотрим как устроены первые несколько членов. Пока давайте воспринимать эти манипуляции формально, естественно это можно проделать чуть более аккуратно, чем мы займемся скоро, но пока мы можем вычислить первые несколько интегралов, которые возникают при перемене мест применения порядка интегрирования и суммирования и в частности это будут интегралы типа с интеграла от 0 до бесконечности "Е" в степени минус "лямбда" минус "dх" - это есть просто 1 на "лямбда". Следующий интеграл, который возникает так же легко вычисляется после смены переменной интегрированная "лямбда" "х" на "t", он вычисляется и дает ответ минус 1 на "лямбда" в квадрате, а следующий член из-за того, что степень "х" повышается приводит к тому, что "лямбда" идет все более и более высокой степень в знаменатель и двойка возникает из-за интегрирования. Таким образом почленно этот ряд выглядит следующим образом. Действительно, посмотреть посмотрев на это разложение сразу ясно, по крайней мере на первый взгляд, что при больших "лямбда" все последующие члены меньше предыдущих и действительно естественно предположить, что поведение функции "f" от "лямбда" при больших "лямбда" в этой области определяется первым, в основном первым членом и функция ведет себя примерно как 1 на "лямбда". Но давайте, для того, чтобы продолжить посмотрим как устроен общий член этого этого ряда и опять же пока формально напишем следующее выражение: общий член достаточно легко угадать, давайте я сначала напишу ответ, а потом прокомментирую. Формально я могу написать, что это равенство следует воспринимать пока с большой осторожностью, но в формальном смысле его можно написать, это сумма от 0 до бесконечности, в знаменателе мы имеем "лямбда" в степени "n+1". Знак переменность отражается фактор минус 1 в степени "n", ну и заметим еще, что здесь в принципе есть некий числовой множитель. Откуда он берется? Он берется из интеграла от 0 до бесконечности "е" в степени "-t", "t" в степени "n" для "t". Этот интеграл будет предметом нашего более подробного исследования вскоре, но пока давайте я напишу ответ. Этот ответ достаточно легко получается многократным интегрированием по частям. Он состоит в том, что значение этого интеграла просто равно значению факториала от показателя степени "n". Таким образом недостающий множитель здесь "n" факториал и формально мы имеем дело с суммой следующего вида. Теперь давайте выясним действительно ли это равенство можно воспринимать всерьез? Для этого нужно выяснить сходится ли получившийся ряд или может быть у него есть конечный радиус сходимости, когда это равенство можно воспринимать серьезным. Для того, чтобы это выяснить посмотрим соотношение последовательных членов этого ряда. То есть, если иметь в виду например, что этот ряд есть сумма от 0 до бесконечности "an", где "an" нумерует соответствующий член то, для того, чтобы выяснить сходится он или нет следует вычислить сумму отношения "n" плюс первого члена ряда к "an" и уже видно, что в результате этого отношения мы получим "лямбда" в знаменателе, но кроме этого возникнет отношение факториала от "n+1" факториалу "n", то есть это отношение равно "n+1" делить на "лямбда". Предположим, что "лямбда" большое, тогда видно действительно, что первые несколько членов получающегося ряда идут в убывающем порядке. Однако, из этого соотношения ясно, что как только "n" станет достаточно большим, больше чем примерно "лямбда", то каждый последующий член ряда будет возрастать с номером. Иначе говоря, если мы нарисуем "an" как функцию "n", то "a" нулевой от "1 лямбда". Если лямбда достаточно большой, то первые несколько членов ряда будут убывать с номером, но рано или поздно при "n" примерно равном "лямбда" убывание членов ряда сменится возрастанием. Таким образом очевидно, что так как начиная с некоторого номера примерно равного "лямбда" члены ряда начнут расти по величине, этот ряд сходящимся ни в каком смысле быть не может. Таким образом уже ясно, что радиус сходимости этого ряда равен 0. Однако с другой стороны ясно, что если, например, взять первый член рады или первые два члена ряда, то он будет достаточно хорошо приближать функцию "f" от "лямбда" при больших "лямбда". Такого рода специальный ряд называется асимптотическим рядом, мы дадим формальное определение чуть позже, но давайте пока, чтобы закончить первую мысль выясним: а в чем же состоит причина расходимся этого ряда? То есть ясно, что мы в этих формальных манипуляциях должны что-то с точки зрения формального разложения не допустимое и что и привело к такой расходимости и это формальное нарушение состоит в том, что мы воспользовались равенством между самой функцией ее разложением Тейлора за пределами круга сходимости. Мы знаем, что этот ряд сходится при "х" меньших 1, если иметь в виду положительное значение переменной "х", с другой стороны при выполнении почленного интегрирования мы распространяем интегрирование до плюс бесконечности. Это и есть причина возникающей расходимости и темой нашего ближайшего времени будет более аккуратное изучение свойств такого ряда, которое называется асимптотическим рядом и для того, чтобы лучше понять его свойства давайте сейчас посмотрим на более строгий и аккуратный вывод разложений по обратным степеням лямбда в данном конкретном случае.
