her ne kadar bir uzay eğrisinde teğet tek tanımlıysa da
bu teğete dik sonsuz tane dik vektör vardır.
Düzlemde 2 tane var.
Biri bu yönde gelen biri buna ter yönde olan ama uzayda aldığımız
zaman bir teğete dik gelen düzlem içndeki bütün vektörler diktir.
O zaman nasıl yapacağız, bu genişliği.
Bu genişleme şöyle yapılıyor.
Demek ki, uzayda dik vektör eğirinin dik vektörünü tanımlamak mümkün değil.
Burada bu bir uzaydaki düzeyin dik vektörü ile çalışmamız gerekecek.
Düzlemde şöyle diyorduk, bir eğri var.
Bu eğrinin bir tarafından diğer tarafına geçişi, mesela madde geçişi,
osmosla diyelim veyahut ısı iletimi bu dik vektörle çözümlüyor.
Ama uzaya geldiğimiz zaman uzayda bir taraftan diğer
tarafa geçişi tanımlayan sınır bir yüzey olabilir ancak.
Onun için burada bir farklıcalık oluşuyor.
Bir yüzeyin birim dik vektörünü alıyoruz.
Bu birim dik vektörü üzerine bu artık tek olarak tanımlı,
çünkü dik vektörü bu yüzeyin denkleminin örneğin kapalı
gösterimine verilen fonksiyonun radiyanından bulunduğunu hemen biliyoruz.
Bunu da birim boya getirdiğimiz zaman küçük n vektörünü buluyoruz.
Uzaydaki U vektörünün, bu yüzeyin dik vektörüne izdüşümünü alıyoruz.
Ve bunun da artık bir bir çizgi üzerine değil bir alan üzerine birikimine,
toplamına bakmak lazım.
Bir ısı akımını düşünürseniz, yüzeyle verilen sınırın bir
tarafından diğer tarafına geçiş olarak bunu yüzeyin birim
dik vektörü üzerine izdüşüm alarak, ve bunun toplamını
alan üzerine entegral, yüzeyin alanı üzerine integralle bulabiliyoruz.
Şimdi bunları biraz daha açalım.
Düzlemdeki çizgi boyunca, ve çizgiyi dik entegraller hesaplıyorduk,
U ile T'nin çarpımı D S üzerine entegrali
veya U ile N'nin çarpımının D S üzerine entegrali.
T kere D S'nin D X DY olduğunu görmüştük,
dolayısıyla bu entegral, düzlemdeki eğri üzerindeki entegral,
bu çarpımı U'nun bileşenlerinin U ve V olduğunu düşünürsek,
U ile DX'in çarpımı V ile D DY'nin çarpımına eşdeğer geliyor, bu entegral.
Bunu defalarca da gördük,
birinci gösterim işin fiziğini geometrisini gayet güzel anlatıyor.
Fakat bundan hesap yapmak pek kolay değil.
Ama bu gösterim, T kere DS'yi ile DX ve DY ile göstererek elde ettiğimiz bu gösterim,
bu entegral, bu çizgisel entegral hesap yapmaya daha uygun.
Uzayda da bunun aynısı U ile T'nin çarpımı var DS üzerine entegrali
buradaki tek fark U'nun iki tane değil üç tane bilşeni var U V, W,
T kere DS'de aynen bu iki bileşenle DX DY'e yanısıra bir de DZ geliyor.
Bunları yerine koyunca gördüğünüz
gibi iki bileşen üzerine entegral yerine üç bileşen üzerine entegral yapıyoruz.
N'ye geldiğimiz zaman artık bunu biraz evvel de konuştuk
bir N eğrinin dik vektörüydü.
Uzayda ise bir yüzeyin dik vektörünün üzerindeki birikimi alacağız,
gene çok benzer U ile N'nin iç çarpımını alıyoruz yay üzerine
entegre ediyoruz burada ise U ile yüzeyin dik vektörünü çarpıyoruz.
Ama buradaki U vektörü, hem U V W bileşenleri var hem de X Y ve Z'ye bağlı.
Halbuki burada sadece U ve V bileşenleri var ve X ve Y'ye
bağlı bir de yay uzunluğuna değil, alan uzunluğu,
alan büyüklüğü üzerine entegreli hesap ediyoruz.
Burada, düzlemdeki eğrilerin birim vektörünü büyük N ile gösteriyorduk.
Burada küçük n ile gösteriyoruz, hep buna da daha önce alıştık.
Demek ki, bu çeşit bir sınırın ötesine taşınmalarda
iletimlerde kütle olabilir elektrik alanı olabilir, ısı iletimi olabilir.
Bunları alan üzerine entegre ediyoruz.
Burada önemli bir farklılık oluştu ama hesaplar olarak da çok büyük fark değil,
ama gene de burada bir eğri üzerine entegral yerine bir
yüzey üzerime entegrale geliyor.
Gene biz düzlemdeki
eğrilerde U DX artı D V kere D'ye
entegrelde yörüngeden bağımsız olmayı önemli bir konu olarak ele almıştık.
Ve eğer buranın bir potansiyeli varsa yani, F'nin X'e göre türevinden
U Y'ye göre türevinden V üretilebilen tarzda bir F varsa,
buna, bu F'ye potansiyel diyorduk, bu potansiyelin her zaman olmadığını
biliyoruz ve temel koşulunun da UX eğittir VY olduğunu gördük.
Bu temel koşulumuzdu.
Bu koşul sağlanıyorsa, yani bu U ve V rastgele vektörler vektör
bileşenleri değil de bu özelliği sağlıyorsa, o zaman bir
potansiyel vardı ve bu yörüngede bağımsız oluyordu bu entegralin değeri.
Çünkü buradaki UDX artı VDY'e bir DF
olarak bir tam diferansiyel oluyordu,
bunu hemen bir önceki bölümde defalarca gördük.
Uzayda çok benzer bu UDX artı VDY yerine bir de W kere DZ geliyor.
Bunun yörüngeden bağımsız olması gene bir böyle bir potansiyelin var olmasına bağlı.
Eğer böyle bir potansiyel varsa da, daha önce de gördük U gradiyan
F ise bunun rotasyonelini alınca özdeş olarak sıfır çıkar.
Demek ki, buradaki koşul yerine UY eşittir VX yani
birinci bileşenin ikinci değişkene göre türevi bu çapraz geliyor,
ikinci bileşenin de birinci değişkene göre türevlerinin olması
koşulu yerine rotasyonelinin sıfır olması geliyor.
Bu rotasyoneli de hesap edersek buradaki koşul ortaya
gene korunuyor fakat bunun yanı sıra bu iki koşul daha geliyor.
Bu durumda bir F vardır.
Bu F'nin de gradyanı bize bu U vektörünü verir.
Ve bu entegralde de bir DF tam türev olur,
ve bu tam türevde de aynı bu tek düzlemdeki durum gibi,
bu F potansiyelinin A'da ve B'deki değerleri hesaplanarak
bulunur bu entegralin değeri, ve entegral yörüngeden bağımsız olur.
Tabii ki uzayda bir A noktasından bir B noktasına sonsuz tane yörüngeden
gidebilirsiniz, bunu düzlemde de gördük düzlemdekinin çok basit bir genellemesi.
Bunun yörüngeden bağımsızlığını bu şekilde belirliyoruz.
Örnekler yaptıkça daha somutlaşacak.
Ve eğer yörüngeden bağımsız ise, böye bir F varsa,
yani A ile B bir yerden başlıyorsunuz, bir A noktasından dönüp dolaşıp tekrar
o A'ya geliyorsanız B ile A aynı noktaya varacağı için bu fonksiyonda sürekli
ve tek değerli olacağı için, tam diferansiyel olduğundan dolayı
bu çevrim üzerindeki, her hangi bir çevrim üzerindeki entegral sıfır olur.
Ve bu çeşit alanlara da düzlemde de söylendiği gibi korunmalı veya batı
dillerindeki gibi konservatif alan veya korunan alan denir,
düzlemdekinden basit bir genelleme bu noktada tekrar bunu vurguluyoruz.
VX eşittir UY yeter ve gerek koşulluluğuydu, bu üç boyutta bunun
genellemesi rotasyonelin sıfır olmasına geliyor.
Buradan şöyle bir yere de varıyoruz,
diferansiyel hesabının ikinci temel teoremini hatırlayacaksınız bir
fonksiyonun türevini alsanız ondan sonra da entegralini alsanız,
bu bir tam diferansiyel verir yani bu DX'leri simgesel olarak sadeleştirin,
bu entegralde DF'nin entegrali de F
olduğu için bunun A'daki ve B'deki değerlerinin farklarına varırız.
İki değişkende şuna varmıştık.
Eğer u bir f nin gradyanından elde ediliyorsa demek
ki u kere dx bu da gradyan f'yi açarsanız df dx df
dy bileşenleri bunu da dx vektörünün bileşenleri de dx dy,
iç çarpımı aldığınız zaman gradyanın birinci bileşeni ile dx in birinci
bileşenini çarpıyoruz, ikinci bileşeni ile gradyanın dy'yi çarpıyoruz buna geliyor.
Bu da bakınız zincirleme türev kuralını uygularsanız df dx dx
artı df f dy dy df olur tam diferansiyel our yani burdaki aynı farklılığı
belirtmek için küçük f ile gösterildi tek değişken olsun, aynı duruma geliyoruz.
Bu tam diferansiyelin entegrali fonksiyonun kendisi olur
ve burada da b'deki değerinden a'daki değerini çıkararak
elde ederiz yani tek değişkenlinin iki değişkenliye genellemesi bu,
üç değişkenliye genellemesi de tamamen aynı yapıda çıkıyor.
Bir tek ilave olarak z li terim var ama bu da gene tam diferansiyeli veriyor
ve gördüğünüz gibi bu diferansiyel hesabın bir çizgi üzerindeki entegrallere
genellemesi oluyor bu diferansiyel hesaptaki ikinci temel teoremin,
birinci temel teoremi de hatırlıyacaksınızdır burada bir f nin
entegralini alsanız götürüp ondan sonra bunun türevini alsanız belirsiz entegral
üzerinde olmalıdır, yani belirlenmemiş bir x değeri üzerine ki türevi
alabilelim aksi takdirde sabit değerleri verdikten sonra burda bir sabit çıkar
onun bir daha türevi aldığımızın pek bir anlamı kalmaz, sıfır verir o da her zaman.
Onun için belirsiz entegral üzerine de diferansiyel hesabın birinci temel
teoremi çıkıyordu.
Gördüğünüz gibi demek ki bizim bu yaptığımız konular çok
uzaydan gelen öyle mucizevi değişik konular da değil,
tek değişkenlerdeki ana bir teoremin genellemesiymiş.
Ama bu teorem tek değişkenli
fonksiyonlarda her zaman geçerli yeterli derece süreklilik varsa ama burada u kere
dx için her zaman geçerli değil çünkü her u nun, u bir gradyandan üretilemez
ancak korunan alanlar yani konservatif alanlar bir gradyandan üretilebilir eğer
gradyandan da üretiliyorsa aynı bu ikinci temel teoremi karşılıyor.
Şimdi gene üç
boyuta genellememiz gereken bir konu var.
Bunlar da iki boyuttaki Green teoremlerinin genellenmesiydi,
hatırlayalım Green teoremini teoremlerini t
nin üzerine u'nun izdüşümünü alıp s
üzerine entegralini yaptığımız zaman udx artı vdy'ye geliyordu.
Bu da grin teoreminde her zaman yani burada korunan potansiyele falan gerek yok
