Pues estamos viendo estas imágenes en donde tenemos edificios, edificios altos.
Y déjenme comentarles que ahora los edificios se construyen con cierta
oportunidad de, de ser flexibles, ¿no?
Hay sistemas como para que en el caso de, pues no se, fuertes ráfagas,
terremotos o algún otro fenómeno natural el, el edificio tenga la oportunidad
de oscilar un poco, oscilar y recuperar su posición inicial eh,
y que con toda las cargas dinámicas se, se absorban en la, en la estructura, ¿no?
Entonces esa es una aplicación muy real, una aplicación muy útil obviamente, ¿no?
Y bueno pues ahí la matemática también tiene mucho que ver.
Eh, realmente me gustaría que en este último video eh, tengamos oportunidad
de volver sobre ese procedimiento numérico que ha sido nuestra estrategia
desde un principio para transmitirles cómo el cálculo es el estudio, ¿no?
Del cambio, ¿no?
Del cambio que experimentan diferentes magnitudes
con respecto a otra magnitud en particular.
¿Cuál sería nuestra magnitud, digamos, en este caso?
¿No? Si estuviéramos tratando de analizar,
osea lo que está pasando con la, con el edificio, ¿no?
Pues hay algo que está cambiando, podríamos pensar en el en una vertical y
que se está moviendo oscilatoriamente, ¿no?
Entonces qué les parece si ya sobre el papel empezamos a eh,
meterle números y letras, ¿no?
Y a ver qué pasa, okey.
Entonces vámonos aquí abajo.
Yo les estoy presentando una expresión que se conoce como
un sistema de ecuaciones diferenciales y que está modelando, ¿no?
Como, lo que ocurre, ¿no?
Con el, con el, con esta situación que les comentaba ante la fuerza del viento,
de un terremoto, etcétera, ¿no?
Estamos viendo que necesariamente hay una magnitud y,
esa magnitud y es como si yo se las pusiera por aquí.
O sea piensen en este edificio, ¿no?
Y piensen que el movimiento va a ser así y hacia acá y hacia acá.
O sea como que hay un eje aquí y podríamos decir que habrá valores positivos de y,
valores negativos de y hacia el otro lado.
Y ese valor de y vendría siendo como lo que se aleja de la vertical, ¿okey?
Entonces la derivada, la razón de cambio de esa longitud, ¿no?
Esa variación con respecto a la vertical eso es precisamente lo que
llamaríamos nuestra velocidad, nuestra razón de cambio.
Pero observen como en esta expresión, en la de abajo, la variación de la
velocidad es algo que está afectado por la posición que tiene el,
el edificio y también por la velocidad que tiene en ese momento, ¿no?
Entonces aquí nos faltan algunos datos,
aquí los traía yo por abajo, necesita uno pensar en un valor inicial.
Vamos a pensar si digo que y de cero es igual a cero estoy considerando entonces
que el edificio estaba en la vertical, en el equilibrio ahí, ¿no?
Si v de cero es igual uno punto uno quiere decir que ya hay ahí
la presencia de una fuerza que está haciendo que el edificio se esté moviendo
hacia los valores positivos que fijemos, ¿no?
En nuestro sistema si lo estuviéramos viendo desde arriba, ¿no?
El edificio, ¿no?
Los valores positivos estarían ya digamos predeterminados hacia, hacia un lado, ¿no?
En esa horizontal, okey.
Entonces nosotros hemos aprendido, ¿no?
Que cada vez que tengo una razón de cambio esa razón de cambio
provoca un cambio en la magnitud original de la cual es razón de cambio, ¿no?
Y uno puede aproximar ese cambio a través de una simple multiplicación.
La multiplicación de la razón de cambio por el intervalo de tiempo o de la
magnitud de la que depende, que uno esté considerando.
En este proceso estamos considerando que la razón de cambio se mantenga constante.
Y cuando estamos haciendo eso implícitamente
estamos suponiendo que nuestra magnitud se comporta muy bien.
O sea se comporta suave, es una función que tiene su derivada, que la derivada es
continua y que nada aquí de caos ni de cuestiones de fractales.
O sea ahorita la, la, digamos, la hipótesis es que esa magnitud
se puede modelar adecuadamente con el cálculo diferencial e integral.
Entonces vamos a hacer nuestro ejercicio de recordar,
¿qué es lo que podríamos nosotros predecir sobre valores de esta magnitud?
Les voy a enseñar, les voy a mostrar esta hojita en donde ustedes recordarán
esta manera de organizar nuestro razonamiento acerca de la magnitud.
Tenemos la columna del tiempo.
Van a estar pasando segundos, medio segundo, un segundo.
Vamos a considerar ahorita que el intervalo de tiempo sea de medio segundo.
Aquí tendremos nuestra magnitud y de t donde habrá un valor inicial.
Vamos a poner el edificio estaba en la, en la vertical, ¿no?
Vamos a tener un dato del valor inicial de la velocidad, ¿no?
Por causa de ese fenómeno natural y bueno pues vamos a empezar a calcular valores,
¿no?
Cada vez que hacemos esto estamos repitiendo una misma idea.
Una idea muy simple, ¿no?
Que nos diría, vamos a recordarlo con esta parte de aquí, ¿no?
Si yo quiero calcular, ¿no?
El siguiente valor de una magnitud lo que tendría que hacer es al valor anterior
agregarle su cambio.
Y el cambio está eh, digamos calculado
a través de la razón de cambio multiplicada por el intervalo de tiempo.
Entonces yo podría ahorita calcular este valor de y de punto cinco.
¿Por qué?
Porque ya tenemos el valor de y en cero y a eso le vamos a agregar
la derivada en cero multiplicada
por el delta t, o sea por el punto cinco, ¿no?
En nuestro caso el valor de y en cero es un cero.
Y este valor de y prima en cero no es más que nuestro valor inicial de la velocidad,
¿cierto?
La velocidad es la derivada de aquí de la posición.
Entonces pondríamos el valor uno punto uno
que se va a multiplicar por un punto cinco, ¿no?
Y eso nos va a dar el valor de la nueva posición, ¿no?
De lo que se movió el edificio pasado medio medio segundo, ¿no?
Entonces esto, ¿cuánto nos va a dar?
Un uno punto uno por un punto cinco estaría tanto como un, ¿qué?
Cinco por una cinco, cinco por una cinco y tendríamos aquí un punto 55.
¿De acuerdo?
¿Qué serían esos?
¿Metros?
Podríamos pensar en metros, ¿no?
En este momento y entonces ahorita estaríamos poniendo en la situación
de la posición a los punto cinco segundos.
¿De acuerdo?
Cuando ahora nos movemos a la columna de la velocidad vamos a predecir el
siguiente valor de la velocidad y para eso necesitaría conocer su valor anterior y
sumarle lo que eh, su razón de cambio que está en esta columna, ¿se fijan?
Multiplicada por el delta t pero esta razón de cambio nos la está
dada por la ecuación diferencial que teníamos justamente abajo, ¿no?
Aquí la tenemos.
Y en esta columna de aquí tendríamos nosotros que hacer este cálculo, ¿no?
Y entonces aquí tendríamos que la expresión para v prima en cero es
v prima en cero es igual a menos cero punto, dos, cuatro,
ocho por y de cero menos cero punto uno,
nueve por v de cero, ¿cierto?
Y entonces lo que estaríamos haciendo con esto es
meter los números para encontrar el valor.
O sea. ¿qué vamos a poner en y de cero?
En y de cero vamos a poner un cero.
Este va a estar muy fácil.
Y entonces esto nos va a quedar menos cero punto 19 por un uno punto uno, ¿cierto?
Un uno punto uno que podríamos entonces hacer simplemente la multiplicación.
Vamos a hacerlo para hacer un, este, un ejercicio más.
Vamos a poner aquí en nuestra calculadora
que nos haga la multiplicación de, ¿cuánto?
De cero punto 19 para no irnos a equivocar ahorita
por un uno punto uno y nos va a quedar un punto dos cero nueve, ¿no?
Vamos a ponerlo aquí.