Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Aplicación: ¡Aguas con el buzo!
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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Modelo Lineal
Comenzaremos este curso presentando la problemática que hemos planteado en nuestro prefacio: la predicción del valor de una magnitud que está cambiando. Estudiamos el caso más simple de variación posible, y con esto daremos lugar al establecimiento del Modelo Lineal.
Conheça os instrutores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
[MÚSICA] En estas aplicaciones
lo que vamos a hacer estos videos están destinados a que usemos un poco más este
lenguaje matemático que hemos conocido y lo apliquemos, ¿no?,
en una situación un poquito más allá o una aplicación extra de las que hemos visto
con anterioridad, entonces ahorita ya están ustedes viendo de que se trata esto,
tenemos a este señor buzo que anda en el agua, ¿no?
Y bueno pues aquí puede haber muchas magnitudes que podemos estar pensando,
les voy a proponer unas en particular.
O sea tengo aquí unos datos, yo se que que se puede
pensar en la presión, en la presión que es una magnitud importante, ¿no?,
la presión que está sufriendo este señor buzo, ¿no?, en el agua, su cuerpo.
No nos referimos a la presión de que esté muy como estresado, nos estamos
refiriendo a la otra presión, que tiene que ver por la presión atmosférica,
una presión que digamos al nivel del mar es una atmósfera,
o sea en el nivel del mar acá arriba es una atmósfera,
es la que estamos sujetos, ¿no?, cuando estamos a nivel del mar.
El buzo empieza a bajar, sí, entonces está cambiando la profundidad ciertamente,
pero a parte de que cambia esa profundidad,
pues con la profundidad está cambiando la presión.
¿Qué dato tomé ahorita de internet?
Saqué de internet un dato que me dice algo así,
se los voy a poner con la letra escondida que tenemos de nuestra r,
es 0.0994 y dice
atm/por minuto, ¿no?, por metro, perdón, dije minuto, por metro.
Atmósferas por metro, 0.0944 atmósferas por metro viene
siendo la cantidad, bueno el aumento
de la presión con respecto a la profundidad que tiene el buzo,
o sea cuando baja un metro entonces la presión está aumentando, sí fíjense,
el buzo baja y la presión aumenta, o sea hay dos magnitudes ahí que están variando,
¿no?, la profundidad y la presión del buzo,
entonces uno podría pensar en la presión,
me voy a ver obligada a usar ahora la letra y, cierto, y es el personaje,
y es la presión, es la magnitud que estoy estudiando, ¿de quién depende la presión?
La presión depende de la profundidad, la profundidad
que tiene el buzo la vamos a llamar, ¿qué nombre le pondremos?, x,
¿no?, ya somos aquí expertos matemáticos y entonces estamos diciendo que
la presión depende de la profundidad, okey.
Y vamos a construir el modelo matemático que nos permita predecir la
presión que va a sentir el buzo a medida que va bajando, ¿no?
Entonces sabemos por este dato que es posible en
cierta forma considerar que esa razón de cambio es constante,
por eso estamos ante la presencia del modelo lineal, por eso podemos modelar
con una función lineal el comportamiento de la presión, okey.
¿Cuál sería ese comportamiento?
Vamos a tomar otro color, vamos a poner el comportamiento y igual a y de x
que estaría expresado por el valor inicial de la presión que quedamos
al inicio del mar hay una atmósfera más la razón de cambio,
o sea que en este caso va a estar aumentando, que sería un 0.0994
multiplicado por x que significaría la profundidad del buzo, okey.
Y este modelo matemático nos puede permitir hacer ciertas predicciones,
vamos a jugar con las predicciones, ¿cuál sería la primera?
Vamos a dejar aquí la expresión para que la tengamos presente, okey.
Y entonces podríamos preguntarnos matemáticamente
cuánto vale y si x es igual a 50 sí.
Si me voy al contexto de buzo qué estaríamos diciendo,
cuál es la presión que tiene el buzo cuando ha bajado 50 metros, okey.
¿Cómo se contesta esta pregunta?
Bueno, pues usando nuestro modelo matemático,
o sea la y es mi incógnita ahorita, la x va a ser un 50 que se pone aquí,
o sea cuando se indica se dice así evalúo la función en 50 y me queda
0.0994 por 50, ¿no?
Y entonces podemos calcular este valor,
vamos a hacerlo aquí con nuestra calculadora, a ver si nos sale rápido,
vendría siendo un qué, 50 por 0.0994
más y le sumamos el uno y nos queda tanto
como 5.97,
qué sería esta, las unidades serían en este caso atmósferas, verdad,
esa sería la presión a la que está el buzo sujeto, ¿no?,
cuando está a los 50 metros de profundidad, okey.
Un dato, aquí hay un problema de predicción resuelto,
se fijan el modelo matemático ya lo pudo, lo pudimos resolver gracias a él,
un dato importante es que cuando uno está en el mar a unos sujeto,
bueno cuando uno está sujeto a una presión de 11 atmósferas más o menos
ya entonces ahí el organismo tiene sus problemas,
se colapsan sus órganos, entonces vamos a pensar en esa situación terrible,
verdad, pero claro ahorita es hipotéticamente, que bueno las matemáticas
sirven para eso también, para predecir y para decirle a este buzo estate buzo,
porque no te vayas a ir más allá de tanto, ¿no?, para que no te vaya a pasar algo.
¿Cuál es este, cuál sería matemáticamente ahorita la situación?
Pues estaríamos diciendo cuando la presión es, si la y vale 11, si
la presión es 11 cuanto vale la x, ahora estoy viendo cuanto vale x si la y es 11,
estoy entonces igualando la función a 11 y eso cómo se haría matemáticamente,
pues vamos a poner aquí el 11 va a ser el y de x,
y esto es igual a uno más 0.0994 x,
okey, estamos igualando y de x a 11, aquí no hay una multiplicación,
esta es la notación de la función, nos quedamos nada más con las partes
de aquí y de acá y si quieren ahorita les voy a hacer el switch que les digo, ¿no?,
como nuestra mente podemos pensar nada más al otro lado, dejar la x aquí,
uno más 0.0994 x igual a 11,
este x se queda de este lado, y ponemos el 11 le quitamos uno,
¿por qué le quitamos uno?, porque este uno de aquí nos lo trajimos del otro lado,
estaba sumando pasa restando, nos queda entonces un 10,
y finalmente para despejar esta x,
este número le está multiplicando entonces le va a pasar, ¿cómo le va a pasar?
Pues dividiendo, del otro lado nos quedaría 10 entre 0.0994,
usamos nuestra calculadora para hacer este cálculo rápido,
y entonces nos va a quedar, ay se me hizo la calculadora difícil,
a ver, vamos a ponerle un 10 entre 0.0994 nos
sale igual a un 100.603622,
etcétera, etcétera, aquí esto es un aprox verdad, pero igual, yo creo que
le podríamos decir a este señor, que no puede bajar,
se fijan, no puede bajar, estoy haciendo la interpretación acá,
no puede bajar a una profundidad de 100 metros,
¿no?, porque sino no lo vamos a volver a ver subir, no sí,
sí lo vamos a volver a ver subir pero muy mal, en muy malas condiciones.
Entonces este problema de predicción está resuelto,
o sea pudimos decirle a él con lo que se puede topar, ¿no?, todo por qué,
porque hicimos un modelo lineal, trabajamos matemáticamente
con ese modelo y después bueno, pues pudimos hacer nuestros cálculos numéricos.
Me gustaría que en esta aplicación que estamos haciendo,
acá vemos introduciendo una variable más, o sea una magnitud más aquí.
Supónganse que el buzo este, está bajando,
¿no?, lo están bajando de tal manera en alguna estructura,
de tal manera que podamos considerar que baja a digamos,
a unos qué será, bueno unos 7.5 metros por segundo,
por segundo, perdón por minuto, supongamos sí,
ahorita estoy suponiendo que el buzo está bajando a razón de 7.5 metros por minuto,
una razón de cambio constante, es como una velocidad allí a la que está bajando,
¿no?, y entonces hay una idea matemática que les quiero compartir
que me dice como trabajar cuando varias magnitudes están presentes.
Entonces yo les podría decir ya sabemos que la y,
la presión depende de quién,
de x pero x es la profundidad, se fijan, o sea aquí tengo significados,
aquí esta es la presión depende de
la profundidad.
Pero por otro lado lo que les estoy diciendo aquí es que
la profundidad depende del tiempo, okey.
Entonces por otro lado si me quedo con y y x nada más en matemáticas se nos van
a acabar las letras y entonces no podemos avanzar.
Vamos a hacerlo entonces, o sea de otra manera, vamos a meter una nueva letra,
tradicionalmente en matemáticas aquí se pone una u, ¿por qué?,
yo no se, pero bueno ahí se pone una u,
la voy a dejar la x y la letra que voy a meter después una t para el tiempo.
O sea lo que vamos a decir aquí es x depende del tiempo, sí.
O sea les estoy diciendo que la profundidad depende del tiempo, ¿no?
¿De acuerdo?
Entonces siendo así en matemáticas, siendo todo fórmulas, se pueden hacer cosas
como esto, ¿no?, o sea piensen como para atrás, esta x está aquí, cierto,
entonces uno puede decir y depende de x que depende de t.
Y entonces como que se mete, ¿no?, se encajonan estas expresiones y entonces ya
puedo pensar aquí a la presión en función del tiempo, okey.
Estoy cambiando las cosas porque ahora veo a la presión depender del tiempo,
no depender de la profundidad, bueno sí depende ya lo se, pero el modelo
matemático aquí lo que haría es poner la presión dependiendo del tiempo, ¿no?.
Y cómo podríamos encontrar nosotros esa expresión matemática,
pues ya teníamos aquí nuestra expresión cuando aquí
la x representa la profundidad, pero por su parte la x
depende del tiempo y según lo que les dije, si baja el buzo a 7.5
metros por minuto pues entonces sería su posición inicial, ¿dónde estaba?,
estaba al nivel del mar entonces aquí sería un cero más un 7.5 por t.
O sea sería la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo que sería
este dato multiplicado por la variable t.
Entonces tenemos un juego de fórmulas, ¿se fijan?
la y en términos de x, la x en términos de t.
Y entonces aquí se presta lo que en álgebra se conoce como qué,
una sustitución, ¿no?, sustituyo,
me voy a salir, ahí está, sustituyo, voy a sustituir, ¿qué voy a sustituir?
Pues donde vea la x pongo todo esto, ¿no?
Bueno, esto sin el cero porque sumarle cero pues es como que no tenemos nada ahí,
¿no?
Y entonces aquí nos regresamos a nuestra hija
para hacer esto que se llama una composición de funciones,
es un nombre muy complicado pero realmente la idea es muy simple y muy útil.
Una magnitud depende de otra, pero esta magnitud a su vez
depende de otra y entonces puedo decir que la primera depende de la última, okey.
Y si hacemos el modelo matemático fíjense como quedaría nuestra expresión,
la y finalmente sería uno más
0.0994 y en lugar de x, ¿qué pongo?
Por 7.5 t, okey.
Aquí sí voy a necesitar hacer mi multiplicación,
vamos a hacer la multiplicación de 7.5
el 7.5 lo multiplicamos por cuánto,
el 0.0994 igual 0.7455,
okey, 0.7455 t, okey.
Nos quedó una fórmula nueva y en esta fórmula ya vemos
a la presión dependiendo del tiempo, okey.
Este nuevo objeto, este nuevo modelo, okey, me permitiría por
ejemplo predecir cuánto tiempo,
okey, no puede estar el buzo debajo del agua, o sea podría decirle mira no te
pases de tanto tiempo porque al tal tiempo vas a tener esa presión igual a 11.
O sea que sería lo mismo que ahora poner el número 11 aquí y despejar, ¿no?,
se los dejo de tarea, si ustedes despejan de aquí la letra t van a ser capaces
de decirle al buzo no te tardes, no bajes más de tanto tiempo, de tantos minutos.
¿Por qué?
Si bajas ahí entonces tienes el peligro de no volvernos a ver jamás.
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