Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. Se propone la reinterpretación de los contenidos matemáticos relativos a Modelos con Radicales y Exponentes en términos de nociones y procesos del Cálculo Diferencial. Esto servirá como puente para el desarrollo de un pensamiento matemático avanzado con el que se trabajará en la Matemática Universitaria. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Ahora regla de la cadena y derivamos √x
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
4.- El Cálculo - Otros Modelos
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Reglas de derivación
Hablaremos de las Reglas del Producto, Cociente y Cadena para dar cabida al estudio de otros modelos matemáticos en cuya representación algebraica aparecen exponentes negativos y/o fraccionarios. Practicaremos con las Reglas y apreciaremos los aportes de tecnología especializada en este proceso.
Conheça os instrutores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues seguimos ahora, todavía recordando nuestras reglas de derivación.
Nos toca ahora tratar con la regla de la cadena.
Bueno, más bien, va a ser una versión, un caso de la regla de la cadena.
Tendrán oportunidad de ver a esta regla con todas la
de la ley cuando estén en su curso de cálculo primero.
Cálculo uno.
Entonces si me acompañan
sobre el papel, recordemos lo que llevamos.
Porque siempre esta acción es bien importante
desde el punto de vista del aprendizaje.
¿Qué se?
Para saber a donde voy y poderlo ubicar digamos
dentro de mi pensamiento en un cierto lugar estratégico.
Entonces you vimos la regla del producto.
Recuerden ustedes que lo que hicimos fue comprobarla.
Y en esa regla del producto tenemos
producto de dos funciones.
Y dijimos para derivar el producto, no es el producto de derivada, para nada.
Se trata más bien de la primera función por la derivada de
la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.
Esa es la regla del producto.
Okay. Vimos la regla del cociente también.
Ahí tenemos el cociente de dos funciones. Y para derivar un cociente,
para nada es la derivada de este entre la derivada de este.
No, ojala y que las cosas fueran así de sencillas.
Pero, nada que ver.
Realmente desde el punto de vista matemático para derivar un cociente lo que
se requiere es colocar la expresión de la función en el denominador por
la derivada de la que esta en el numerador, menos la función que
esta en el numerador por la derivada de la que esta en el denominador.
Y todo esto entre el denominador al cuadrado.
También hicimos nuestra comprobación de que esta regla funciona.
Gracias a que esta función pudimos tratarla algebraicamente
y llegar a una expresión muy simple de ella.
Nos toca ahora la regla de la cadena. En esta regla de la cadena.
bueno, aquí recordamos que incluso con la regla del cociente podríamos
derivar cuando tengamos exponentes negativos.
Algo nos va a pasar igual a esto también hoy día con la regla de la cadena.
Lo van a ver.
Entonces aquí vamos a poner nosotros un caso de la regla
de la cadena. ¿Qué dice esta regla?
Les digo este nombre porque puede ser que you
la hayan visto en prepa y así le hayan nombrado.
Entonces este caso de la regla de la cadena va a ser algo que apliquemos cuando
tengamos, por ejemplo, una función. Voy a poner una que si podamos comprobar.
Una función como x cuadrada más 1 al cuadrado.
Como sabemos desarrollar el binomio al cuadrado, entonces vamos a poder
hacer nuestra expresión y poder comprobar lo que nos salga acá.
¿De acuerdo?
Les voy a motivar un poquito sobre esta
regla de la siguiente manera. Vean ustedes como aquí, la expresión que
tenemos de la función, me invita a pensar en que la y es una u al cuadrado.
O sea, puedo pensar que es una expresión al cuadrado.
Entonces en ese sentido pongo en esta u una expresión al cuadrado.
Entonces esta u que está, digamos,
dentro del paréntesis, a su vez es una u que depende de x.
¿Cierto?
O sea, como que tengo por un lado que la y
depende de u porque la y es u
cuadrada. Y por el otro lado la u depende
de x.
Esto es lo que en matemáticas se llama
una dependencia en donde se puede componer las funciones.
O sea, si y depende de u, y u depende de
x pues yo puedo pensar entonces que y depende de x.
No se si me sigan esa transitividad en el pensamiento.
Si y depende de u, y u depende de x,
entonces y depende de x. Piensen en, en el buzo.
Cuando estábamos hablando del buzo.
Si el buzo se va a meter al océano, la presión depende de la altura que el lleva.
Pero si el buzo está bajando con una cierta velocidad, entonces, la presión.
Digo, perdón, la profundidad en la que está
el buzo depende del tiempo que ha pasado.
Si la presión depende de la profundidad, y la
profundidad depende del tiempo, entonces la presión depende del tiempo.
Eso es lo que les estoy diciendo aquí, ¿no?
Si y depende de u, o sea, si la presión depende de la
profundidad, y u depende de x, y la profundidad
depende del tiempo, entonces la presión depende del tiempo.
Y puedo hablar de una función como la que tengo acá.
O sea, aquí lo que haríamos es como meter en esta u, esa u ¿cual sería?
X cuadrada más 1.
Si yo pongo aquí en esta u verde la u rosa
que tengo acá, me va a quedar justamente lo que tengo arriba.
¿Okay?
Entonces esa es una composición de funciones, pero, igual no se
preocupen por este nombre.
Lo importante es entender la esencia de
cómo se están conectando, relacionando dos magnitudes ¿no?
Y ahora con esa conexión, yo los puedo hacer que piensen en la
regla de la cadena. Porque imagínense que yo les dijera que la
razón de cambio de y con respecto a u en determinado momento
es dos.
¿Qué me estaría diciendo esta razón de cambio que es dos?
Me estaría diciendo que cada vez que la u
cambie una unidad, la y va a cambiar dos unidades.
En cierta forma es una interpretación de esta razón de cambio.
Si la u cambia una unidad, la y va a cambiar dos unidades.
Si por otro lado les digo que la razón de cambio
de u con respecto a x en determinado momento
es un tres. ¿Qué les estaría diciendo entonces?
Que cada vez que la x cambie una unidad, la u esperaré que cambie tres unidades.
Vamos a repasarlo otra vez. Cuando la u cambia una
unidad, la y va a cambiar dos unidades. Y acá diría cuando
la x cambia una unidad, la u va a cambiar tres unidades.
Entonces vamos a pensar qué pasaría con la y.
¿Cuánto va a cambiar la y cuando x cambie una unidad?
Para pensar en esa dependencia entre la y, y la x.
Aquí yo se que, si cuando
la x cambia una unidad, la u cambió tres unidades.
Entonces la x cambió una unidad y tengo que la u cambia tres unidades.
Y ahora en este lado de acá, tengo que la u cambió.
¿Cuánto?
Una unidad.
Cada vez que cambia una unidad, esta y va a cambiar dos unidades.
Entonces por cada una de las unidades
que cambió aquí la u, ¿no? acuérdense que teníamos tres.
Por cada una de ellas, voy a tener que la y cambia dos.
Entonces, ¿cuánto esperaría yo que cambie la y?
Sería este dos multiplicado por cada una de las que tengo acá del cambio de la u.
O sea, sería un dos por tres. O sea, tendría yo que la y
cambia seis unidades ¿no?
O sea, ¿cuál fue el pensamiento que puse a funcionar con ustedes?
Esta derivada me está diciendo si la x
cambia una unidad, la u cambia tres unidades ¿no?
Ahora, cada vez que la u cambia una unidad, la y
cambia dos unidades. Esto es esto de acá.
Entonces si x cambia una unidad, you se que la u cambió tres.
Pero por cada una que cambió la u, la y cambió dos unidades.
Si cambió acá tres unidades la u entonces tendría tres por dos.
Serían seis unidades lo que cambia la y.
Ese tres por dos es un producto, ¿no?
es un producto que se hizo entre los datos de estas dos derivadas.
Y eso es justamente
la regla de la cadena; ¿no? ¿Qué me va a decir la regla de la cadena?
Que lo que tendría yo que hacer aquí
es derivar cada una de ellas y multiplicarlas.
Entonces, ¿que nos quedaría cuando derivemos esta función?
Y igual a x cuadrada más uno al cuadrado.
La derivada sería que derivamos la u que sería
dos u, y luego derivamos la u. Perdón derivamos
la y que sería dos u, cierto Y luego derivamos la u que
sería dos x al derivar esto de acá. Y entonces, ¿que nos va a quedar?
Un cuatro x por x cuadrada más uno, ¿no?
O sea, puse el dos por dos son cuatro x, y luego la u es un x
cuadrada más uno, ¿okay?
Esta sería la regla de la cadena aplicándola bueno,
como se los estoy diciendo, al multiplicar las dos derivadas.
Nos quedaría la duda de si esto lo
podemos comprobar o no con lo que nosotros sabemos.
Y a eso vamos ahora.
Si ustedes ahorita expresan esta función como
sabemos expresarlas gracias al binomio al cuadrado,
diríamos que esta y es igualita a, ¿qué? A x cuarta,
más el doble producto, es dos x cuadrada más el cuadrado del segundo.
x cuarta más dos x cuadrada más uno.
Entonces cuanto daría la derivada, si you las tenemos así expresadas?
Sería un cuatro x cúbica más un cuatro x. ¿Están de acuerdo?
Entonces lo único que
nos faltaría es comprobar si esto es igualito a
esto que nos salió con la regla de la cadena.
Cuatro x por x cuadrada, sí da cuatro x cúbica.
Cuatro x por uno cuatro x. ¿Se fijan?
O sea, lo hice elevando el binomio al cuadrado.
Y entonces la derivada nos quedó igual a esto.
Que esta con este tono mostaza.
Lo hice usando la regla de la cadena, que dice multiplica
las derivadas. Y nos quedó esto que esta aquí abajo.
Y estamos observando que llegamos al mismito resultado.
Entonces, ¿que es lo que está pasando con esta regla de la
cadena o este caso de regla de la cadena que les estoy mostrando?
Estoy enseñándoles a derivar una expresión que tenga el
tipo y igual a algo una función que esté
elevada a una potencia, ¿no? Y si observamos lo que hizo
la regla de la cadena, esto nos dice algo como lo que you sabíamos antes.
Pon el dos, o sea este dos que está aquí. Bájalo, deja la expresión que tenías ¿no?
antes. Y, después multiplica por dos x.
Y, ¿quién es dos x? Dos x es la derivada de esta ¿no?
O sea, dos x era derivada de lo que está aquí en el paréntesis ¿no?
Entonces, se les voy a re-parafrasear acá. Es el
caso de regla de la cadena en donde tenemos una
expresión de tipo y igual a x cuadrada más 1 al cuadrado ¿no?
. La derivada se va a calcular ¿cómo?
Bajando el dos. Sí.
Dejando la expresión que you teníamos.
Al cuadrado le quito uno y me queda uno. Dos menos uno.
Vamos a ponerlo así.
Y aquí, multiplicamos por la derivada de lo que está aquí adentro del paréntesis.
La derivada de la uno.
Finalmente, esto nos quedó dos por x cuadrado más uno a la uno por dos x ¿no?
Y, finalmente si reacomodamos nos queda un cuatro
x por x cuadrada más uno al cuadrado.
Sí.
O sea, lo que está, no perdón. No es al cuadrado.
Cuatro x por x cuadrada más uno, nada más ¿no?
Esta acción la podemos hacer más automatizada ¿no?
con expresiones de ese estilo. O sea, ¿cuál es la derivada de y igual a a
x cuarta más uno a la cinco? Lo que diríamos
es para derivar bajo el cinco, dejo la misma expresión que
tenía, al exponente le quito uno. Me queda un cuatro.
Y multiplico por cuatro x al cubo. Y, después, puedo juntar las cosas.
Cinco por cuatro
son veinte x cúbica por x cuarta más uno a la cuarta ¿no?
Sí.
Entonces ahorita, esta mecánica de bajar el exponente, dejar la expresión,
al exponente quitarle uno, y multiplicar por la derivada del paréntesis,
de lo que tener el paréntesis, eso es lo que está
haciendo mi caso de la regla de la cadena que quisiera
que ustedes pudieran dominar ¿no? .
No se ahorita si tengamos el suficiente tiempo.
Me gustaría que lo aplicáramos en uno de las funciones ¿no?
que nos interesa a nosotros estudiar. Eso es algo sencillo.
Si me siguen yo creo que si vamos a completar.
Es una aplicación de regla de la cadena
para una función que me interesa que sepamos derivar.
La función es y igual a raíz de x, y you les decía, esto es x a la un medio ¿no?
Sí.
Así se escribe. Los exponentes racionales son radicales.
Okay.
Cuando yo tengo esta expresión, yo puedo elevar al cuadrado en esta parte.
En esta parte de aquí, bueno en todo.
Puedo elevar el cuadrado y entonces tendría aquí la expresión y cuadrada
igual a x. Okay.
Y esta y es esa u, digamos.
Es esa u que teníamos aquí. Miren, es esta u.
Donde la teníamos con el tono verde ¿no? Okay.
Es una u que está al cuadrado.
Esa y depende de x.
Entonces, cuando derivemos, aplicando la regla de la
cadena, estando despejada así, lo que quedaría es
dos, bajo el dos, la y queda a la uno, ¿no?
por la derivada de la y, que sería la y prima.
Y esto, por otro lado, me quedaría a la derivada de x que es un uno.
De ahí que y prima es igual a uno en dos y.
O se hace uno entre dos veces la y que es raíz de x.
Okay. Entonces, hemos derivado x a la un medio.
¿Okay? La respuesta es uno en dos raíz de x.
Por otro lado, si recuerdo en mi cabeza
aquella mecánica de que se baja el exponente, etc.,
etc., fíjense en lo que pasa.
Vamos a aplicarlo aquí.
Si quiero derivar con eso de mi
pensamiento aquí pondría abajo el un medio.
Dejo la x. Y al un medio le quito uno.
Sí.
Entonces, nos quedaría un medio de x a la ¿qué?
Si a un medio le quito uno, a un medio le estoy quitando dos medios.
Entonces, me queda menos un medio.
O sea, nos queda uno entre dos, y como esta x
tiene exponente negativo, es como si la tuviéramos aquí abajo ¿no?
Uno entre dos x a la un medio. O sea, lo mismito que tengo acá.
Uno entre dos raíz de x. Lo rosa coincidió con lo verde.
¿Okay?
Esa es una gran ventaja.
Una vez que aplicamos la regla de la cadena
para esta función, nos hemos dado cuenta de ¿qué?
Para derivar esta función, lo que tenemos que hacer es lo mismo que antes ¿no?
Cuando teníamos potencias. Si yo quiero derivar y iguala x a
la cuarta, bajo el cuatro, dejo la x, y al exponente le quito uno.
Ahora, la mecánica es la misma.
Si yo quiero derivar x a la un medio, bajo lo
medio, dejo la x, y al un medio le quito uno ¿no?
Esto you nos va a permitir poder trabajar con este otro tipo de modelos.
En donde, ahorita, lo que estamos conociendo de ellos, ¿qué es?
Es su derivada ¿no?
Recuerden ustedes, en esta parte, seguiremos adelante
con esta mecánica de estar calculando derivadas.
Pero, bueno, vamos a tener que hacerlo you con ciertas combinaciones.
O sea, las cosas se van a empezar a
complicar un poquito desde el punto de vista algebraico.
Pero recuerden que ahorita el juego es saber derivar.
¿Por qué?
Porque la derivada es importante. Porque you hemos reconocido
a la derivada en su papel ¿no?
para la actividad de resolver problemas de corte de predicción.
O sea, problemas en donde interesa conocer
el valor de una magnitud que está cambiando.
Entonces, sigamos en nuestros siguientes vídeos practicando un poco
con este tipo de derivación usando las reglas de las derivadas.
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