Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
¿Cuándo se llena?
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
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La derivada cuadrática y la función cúbica
Hablaremos del contexto de llenado de tanques para apreciar las diferentes características gráficas que puede tener una función cúbica. Haremos énfasis en la obtención de la derivada y la antiderivada como procesos algebraicos. Utilizaremos la derivada para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Conheça os instrutores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Volvemos entonces con nuestra situación problema.
Estábamos hablando del llenado de este tanque.
you nos dimos cuenta que el tanque sí se va
a llenar y nos preguntamos en qué instante se llenaba.
Ahorita vamos a retomar aquí en el papel, tengo aquí escrita
la función cúbica que nos calcula el nivel que nos predice, ¿no?
el compartamiento del nivel de agua en ese tanque, y la pregunta
de cuándo se llena, esta pregunta la contestaríamos cuando, bueno,
pues, cuando sepamos cuánto mide, no, de altura el tanque para saber que se llene.
Ahorita que no tengo la imagen presente, bueno, yo
les pediría que me crean, nos quedan 100, ¿se acuerdan?
Ojalá que algunos sí se acuerden.
Eran 100 centimetros, digamos.
Entonces necesitaríamos nosotros preguntarnos ¿Para qué valor
de t? O sea la pregunta está aquí, ¿se fijan?
¿Para qué valor de t, h de t va a ser igual a 100?
¿Okay? Esto nos lleva a plantear la igualación de
15 más 2 t menos 2 t cuadrada más t cúbica con el 100.
Y de allí, sí con, si acomodamos las cosas, ¿no?
correctamente, lo que tendríamos nosotros que hacer es
que este número 100 pase del otro lado, ¿no?
y se va juntar con este 15, ¿se fijan?
Voy a hacerlo you acomodando la ecuación cúbica como estamos
acostumbrados con el primer término que sea el cubo, después
seguiría el cuadrado, después seguiría el lineal, después sigue nuestro
15 que teníamos de este lado izquierdo, y después le quitamos
el 100 que pasó a negativo porque lo pasamos de aquí al lado izquierdo.
Y esto sería igual con 0, ¿no?
Nos quedaría la igualación con 0.
Nos queda aquí la ecuación t cúbica menos 2 t cuadrada más 2 t menos 85
igual a 0, ¿sí? Esta ecuación cúbica, yo les dije, ¿no?
que realmente está bien preparada como para que puedan ustedes
encontrar la solución. Habrá quienes, ¿no?
pudieron haber tenido una actitud tipo lo que diríamos, ¿no?
de ensayo y error, eh, en el sentido de que
probaran con distintos números hasta que le atinen, ¿así decimos, no?
de atinen, o sea que encuentren ese número que realmente al hacer
aquí las operaciones me va a dar el igual a 0, ¿okay?
Ese número es el 5.
Probablemente ustedes, si lo hicieron, si hacen la operación de 5 al cubo menos
2 por 5 al cuadrado más 2 por 5 menos 85, pueden comprobar que les da igual a 0.
O sea, ese sería una manera de decir, pues you, you la encontré, you no,
a los t igual a 5 segundos o 5 minutos, el tanque se llenó, ¿okay?
Por otra parte, como quien está, está haciendo la ocasión, ¿no?
de poder repasar
otro tipo de trabajo más matemático, más algebraico,
eh, que no sea ese estar probando, ¿no?
a ver con cuál, con cuál valor numérico me resulten igual a 0.
Les digo en este caso, eh, fueron afortunados.
¿Porqué?
Porque la ecuación está muy bien preparada.
Pudiera ser que las soluciones de este ecuación cúbica sean irracionales, y en
ese momento, les digo, por más que quieran probar y probar y probar,
se van a cansar porque no van a llegar.
O sea, realmente la mayoría de las
ecuaciones no tienen una solución tan bonita.
Ahorita esta solución bonita me va servir para recordarles
a ustedes algo que you les había comentado, ¿no?
pero que vale la pena en este momento, eh, evocar de nuevo.
Aquí hay dos coeficientes en estas ecua,
en este ecuación que llaman nuestra atención en
este momento.
Uno es el 1 que está aquí, el coeficiente que está detrás de t cúbica,
y el otro es este menos 85, que está acá, que está solito, digamos, ¿no?
Es el independiente, el término independiente.
Tenemos un resultado en álgebra, es un teorema, que nos establece cuando las
soluciones son números rea, vamos a ponerle aquí racionales, o sea cuando sa,
están en el conjunto de los números racionales las soluciones de este ecuación
cúbica, y de grado 4 y 5, 6, el que sea, eh, ¿sí?
Cuando son soluciones racionales, entonces esas soluciones racionales
tienen que estar en un conjunto, tienen que ser elementos de un conjunto que
se forma aquí con los divisores de
este número, entre los divisores de este número.
Los divisores del menos 85, o los divisores o los factores, ¿no?
del menos 85, son, por ejemplo, ¿cuál?
pues el 1, el 1 divide a todos, ¿no? el 5 también lo divide, ¿no?
el 10, por ejemplo no, el 3, por ejemplo, si yo
quisiera sacar tercera, esto no me sale entero, eh, habrá otro número aquí, no sé,
el 85 chequé qué lo podemos dividir para que nos dé otro, otro valor
numérico, ¿no? exacto, ¿no?
cuando se haga la división.
Supongamos que estos fueran, fueran este todo,
¿no?
Lo que quiero yo ilustrarles es que entre
este conjunto que está aquí, a bueno pues, claro,
podríamos dividir el 85 entre 5, you estaba yo
pensando en eso, me va dar un 17, ¿no?
Porque un 85 es 5 por 17. ¿Sí es cierto?
Sí, es cierto, okay. Creo que you, you lo logré; son todos los
divisores que tenemos, claro, los mismos, 85, serían los divisores de este número.
Y acá
divisores del 1, pues nada más tenemos el 1, ¿no?
Claro que entre todo esto tendríamos que entre,
entre, perdón, que agregar el más y el menos.
O sea que aquí tendríamos más/menos uno, más/menos 5, más/menos 17, más/menos 85.
¿Okay?
Este teorema sí yo les platicaba me dice entonces que todas las soluciones
racionales, si es que las tiene, este ecuación tiene que estar en el conjunto
de los números que son divisores de aquí entre divisores de acá.
Eso, por la facilidad de este número 1 me da aquí el conjunto más/menos 1,
más/menos 5, más/menos 17, y más/menos 85, ¿no?
¿De acuerdo?
Estos son, digamos, los, las posibles soluciones racionales.
Si hay alguna que sea solución, tiene que estar allí.
Ahorita vemos que
es el 5, ¿se fijan?
O sea ahorita lo que estábamos diciendo nosotros es que era el 5.
Cuando uno no tiene ideas de, de si es o no es el 5,
uno tendría que probar con cada uno de ellos y ver cual es el
que sí, este, nos da, digamos el residuo 0, no, aparece como el factor
pero en el caso nuestro, o sea you lo teníamos hecho de una manera distinta.
No obstante,
les voy a recordar aprovechando esto, ¿no?
lo que venía haciendo este método de la división sintética,
para que lo apliquemos en esta ecuación en particular, ¿sí?
por, por sus aplicaciones en, eh, posteriormente.
Entonces, vamos a hacer la división sintética para
probar que efectivamente que el 5 es solución, ¿okay?
Entonces, para eso ponemos los coeficientes que son
1 primero para t cúbica, un menos 2
para t cuadrada, un 2 para la t, un menos 85 nos quedaría solito, pondríamos
aquí encerrado nuestro 5, porque él es el que nos va a dar la solución,
y aquí, entonces, bajamos el 1, acuérdanse de esta mecánica, bajamos aquí el 1, y
empezamos con el procedimiento que es multiplicar 1 por 5 son 5, se pone acá.
5 menos 2 es igual a 3, se pone acá abajo, este 3 por el
5 da 15, que se pone aquí, 15 más 2
da 17 que se pone aquí abajo, y este 17 por 5 da 85 que se
pone aquí, y este menos 85 más 85 nos da el tan ansiado 0.
¿No?
Este 0 me está diciendo que este ecuación
de aquí, este ecuación, este número sí es, ¿no?
Sí es una
solución de la ecuación cúbica. ¿Okay?
Y al mismo tiempo me está dando la ecuación cuadrática que le resta, ¿no?
La otra que me daría las otras dos
soluciones que muy probablemente van a ser imaginarias, ¿no?
Pero bueno, ahorita que tenemos esto, yo quería que vieran ustedes cómo en
la división sintética, cuando un número no es solución, ¿qué es lo que pasa?
Cuando un número no es solución, pasa como, como
lo que les voy a escribir ahora, vamos a tomar
un otro color, por ejemplo aquí, vamos à poner, vamos a poner nosotros
que, que la, el 1, el menos 2, el 2, y el menos 85,
y ahora pongamos como que andamos medio perdidos y te decimos que aquí
la solución es el menos 1 es más negativa, negativa aún, ¿no?
Entonces bajamos aquí nuestro 1, y hacemos 1 por menos 1, nos da menos 1.
Menos 2 menos 1 nos da menos 3, ¿se acuerdan de la mecánica?
Ahora este menos 3 por el menos 1 me va dar un 3.
3 más 2 va dar un 5, 5 por menos 1 me
da menos 5, y menos 85 menos 5 nos da menos 90.
Y entonces aquí en este momento que no salió a 0, vamos a decir no es.
¿Okay?
Esta no es una solución. ¿Okay?
Esta es la mecánica, digamos, de la división sintética que
nos permitiría probar con todos los elementos que están aquí, ¿no?
como para decir, voy a encontrar sus soluciones racionales.
Pero, claro, como les digo, pudiera ser, que en
la prueba de todas estas, ninguna resulte ser solución.
Me ha pasado con los estudiantes de este cuando
estamos ante este tipo de situación y prueban con ellas
y ninguna sale, dicen, no, pues no tiene ninguna solución
la ecuación y eso, pues, realmente no es posible, ¿verdad?
O sea, este ecuación,
el teorema fundamental de la álgebra, me dice que tiene tres soluciones.
Esas tres soluciones pueden ser números complejos.
A lo más, ¿no?
Y es cuando ellos me dicen entonces han de ser imaginarias o complejas.
Y la verdad es que tampoco, o sea, lo que pasa
es que nos está faltando ese conjunto de números irracionales, ¿no?
Irracionales en dónde puede estar la solución.
No fue el caso aquí.
El caso aquí estuvo bonito, la solución fue 5, you sabemos que nuestro
tanque se llena a los 5 segundos, o 5 minutos digamos, y este, bueno,
ahorita les probé que ese número 5 está junto en este conjunto de
números donde nuestro teorema establece que pueden
estar las soluciones racionales, solo las racionales.
Me gustaría que ahora pasáramos a la computadora para que viéramos
una imagen, ¿no?
Una imagen de la función del nivel, y
que allí reconozcamos e interpretemos este número 5.
Si ustedes se fijan, ahorita you tengo tecleada la función.
Se lo dije aquí a Graphmática, pero se lo
dije como Graphmática entiende, con yes y con equis.
Y entonces, ahorita 15 más 2 x menos 2 x cuadrada más
x cúbica tiene una gráfica, o me ofrece una gráfica como la siguiente.
Ustedes vere,
dirían aquí, bueno, aquí no se ve nada, ¿no?
Es más, estamos en pura zona negativa, es cierto.
Realmente aquí, uno necesita you tener más información
como para decir en dónde se encuentra ese gráfico.
Recuerdan ustedes, que esta gráfica está hablándome del nivel de agua.
Entonces eso me hace, por ejemplo, ¿no? ver aquí en el menú de View, ¿no?
y a irme a lo que les he dicho, ¿no? a esta
zona de la ventana y decir, bueno, no me des desde el menos 8, dame desde el menos
2, ¿no? para que sea la zona negativa más corta.
Dame aquí hasta, en la derecha, un eh, un 8 estaría bien, pero aba, abajo,
vamos a poner el menos 2 también, no
estamos interesados en ni, en niveles negativos, ¿no?
you, más bien allí se habrá
vaciado el tanque, pero aquí, en la parte
superior, tendríamos nosotros que darle un valor númerico más
arriba, sabiendo que el tanque mide 100, pues sería
lo más lógico poner aquí un qué, ¿un 120?
Le ponemos un 120, y miren lo que pasa.
Ahorita tenemos este gráfico del nivel de agua en el tanque
y ahorita podemos ver, justo aquí, en el número 5, ¿no?
cómo esta raya
vertical, hasta el software me lo está dando, va y topa con la gráfica, ¿no?
y va y topa justamente a la altura 100, ¿no?
Entonces, estamos haciendo nosotros un proceso, digamos, de pensar en
una altura, en un valor, en la vertical, y luego
transportar ese valor por vía de la gráfica a un
valor en el eje horizontal que es justamente el 5.
En esta zona que está
aquí, se nota que el nivel siempre está creciendo, y
aparte de eso, no sé qué tanto lo puedan percibir
ustedes o no, pero you con el conocimiento previo del
video anterior, podríamos decir que algo está pasando por aquí, ¿no?
Algo está pasando por aquí, y saber lo que pasa, me lo va a decir, ¿quién?
La derivada.
Pues ahorita que he sacado la derivada, vean ustedes
como esta derivada prácticamente llega al eje horizontal.
Eso, ¿porqué?
Porque sabemos que el valor era pequeño.
Denme oportunidad ahorita de decirle que nos dé una zona más abajo, vamos a
darle un menos 6, a ver qué nos da.
you se ve que está un poquito levantado, ¿se fijan?
la recta, digo, la parábola roja.
Vamos a hacer un último intento, vamos a poner un menos
10 para que podamos ver un poquito levantada la, la situación.
Nosotros you tenemos allí conocimiento en
dónde, eh, que nos ganamos anteriormente, ¿no?
Vean como ahorita, como el gráfico, por darle
la opción hasta el 100 you perdí, digamos, esa
otra información que era crucial en cuanto al
comportamiento de el crecimiento del nivel del agua, ¿no?
Vamos a señalar unos
otros con las cosas que nosotros you sabemos.
O sea si ahorita, yo les hago, vamos a ver, aquí está el gráfico, ¿no?
Si ahorita nosotros pensamos en esta zona de aquí, recuerden que en esa zona
de allí, nosotros you habíamos visto que
teníamos el punto dos tercios coma dos tercios.
¿Cierto?
Era un punto de la gráfica de la derivada
que era, estaba, es el vértice y era positivo.
Nos dimos cuenta que la derivada siempre era positivo, positiva, perdón.
Nos hizo decidir que el nivel del agua siempre crece, y por
otra parte nos dimos cuenta de que aquí había un punto especial.
Este punto especial que corresponde cuando la, el tiempo es dos
tercios, es un punto que you la hemos llamado punto de inflexión.
Y en ese punto de inflexión, lo que tenemos
es una diferencia en la concavidad, cosa que aquí en
el gráfico, a lo mejor no se percibe del todo, ¿no?
Pero como les digo, hay que visualizar estos puntos.
¿Qué quiero decir con visualizar?
No solamente verlos en el gráfico azul, sino
ser capaces de encontrarlos desde el gráfico rojo.
Entonces, allí podríamos decir, es el momento en que el
nivel del agua crece cada vez más lento y después
sigue creciendo, pero cada vez, más rápido.
¿Será cierto que el nivel llegó, digamos, a
detenerse en un instante y luego siguió creciendo?
¿O no?
La respuesta a eso me lo da el gráfico rojo.
Si ustedes observan ahorita en el gráfico rojo, pareciera
que el gráfico llegó hasta el o, eje horizontal.
Si hubiera llegado al
eje horizontal, la razón del cambio de nivel hubiera
sido 0, y hubiéramos tenido elementos para decir que el
nivel subía cada vez más lento, se paró en
un instante, y luego siguió subiendo cada vez más rápido.
Sabemos por el álgebra que hicimos en el video anterior, que no pasó eso.
El gráfico llega solamente a la altura dos tercios.
Entonces, podemos estar seguros de que el nivel en la película esa que
viéramos del nivel, el nivel iba subiendo desde
el nivel original 15 cada vez más lento,
y sin detenerse, siguió subiendo a los dos
tercios de segundo, pero cada vez más rápido.
¿no?
Con esto, yo creo que podemos dejar con la paz este tanque, ¿no?
you supimos toda la situación que tenía que ver con
él, acerca del nivel, y bueno, hemos tenido ocasión también
de resolver una ecuación cúbica usando
nuestra división sintética, de recordar ese
teorema que nos dice sobre sus
soluciones racionales, sobre las racionales solamente.
Yo creo que es el momento de dar paso, otra vez, al contexto más gráfico,
traernos otra vez esas ecuaciones cúbicas en este otro contexto, y comenzar a hacer
interpretaciones, pero a partir de la derivada de la función cúbica, o sea,
a partir de una función cuadrática que ha sido precisamente
un tema anterior. Yo los espero en el siguiente video,
entonces, para seguir con estas situaciones, ¿no?
Funciones cúbicas asociadas con cuadráticas.
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