Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Una infinidad de gráficas
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
Conheça os instrutores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Yo quisiera que esta semana comenzáramos a un poco
despacito trabajando con un contexto gráfico en lugar de uno algebraico.
Acuérdense que la semana pasada estuvimos duro y
dale con lo algebraico y lo gráfico y
lo numérico, y bueno pues hicimos varias operaciones,
usamos muchas ecuaciones, salieron muchos tipos de numeros.
Quisiera que hoy no voy a decir que en esta semana no tocaremos aquello ¿no?
Pero hoy que empezamos la semana, me gustaría hacerlo en este campo,
digamos, de lo gráfico, en donde voy a tratar de hacer con
ustedes una síntesis, es un resumen de todo lo que hemos aprendido
acerca del modelo lineal y del modelo cuadrático pero en el contexto gráfico.
Yo creo que si me siguen en
la presentación entenderán por qué juntos vamos
a hacer de esto una obra de arte. Vean la pantalla ahorita o sea mi
obra de arte, nuestra obra de arte se llama collage de posibilidades ¿si?
y en ella lo que vamos a tener es lo
siguiente, fíjense yo tengo aquí en penumbra, digamos muchos sistemas
coordenados, hay que ver muy bien que unos se tratan
de aceleración, otros de velocidad, y otros de posición ¿si?
Entonces cuando
yo acciono la presentación, vamos a
destacar el sistema coordenado de la aceleración.
Voy a suponer que esta aceleración me va a dictar como
es la velocidad y me va a dictar como es la posición.
Esto realmente, o sea no es una suposición, es el modo en como hemos
nosotros ordenado nuestro discurso, nuestro discurso nos
dice que la razón de cambio da
lugar a la magnitud y la razón de cambio da lugar a la magnitud.
En ese sentido nuestra obra empieza abajo a la izquierda y la
aceleración que tenemos es una aceleración que ustedes pueden ver vale cero.
¿Por qué?,
porque tengo una recta horizontal a la altura cero.
Si no hay aceleración, no hay fuerza y si
no hay fuerza, la velocidad se va a mantener constante.
En este caso vamos a poner aquí una
velocidad con ese segmento recto ¿no? rojo, a una cierta altura osea
que tengo una velocidad al menos lo que se es que es constante y es positiva ¿no?,
en consecuencia si yo pienso en el gráfico de la posición, necesariamente tendréque
tener una posición que sea gráficamente una recta, ¿por qué?,
porque la velocidad es constante y además de eso es una recta que debe
de ser creciente, ¿por qué?,
porque la velocidad es positiva justo como esta, miren esta que está
aquí dibujada sería una velocidad, digo perdón una posición creciente y positiva.
Ahora, ahorita you le asigné un valor inicial a la posición, ¿no?
porque realmente acuérdense de nuestro chico ¿no?,
nuestro chico Tec pudo haber estado en cualquier posición inicial
pero realmente esta recta pudo haber sido puesta en cualquiera de
las otras posiciones, estoy simulando ¿no?
con estas líneas punteadas la posibilidad
de tener diferentes posiciones iniciales ¿no?
para el movimiento.
Entonces vamos a regresarnos acá a la velocidad, ¿por qué?,
porque realmente allí hicimos una suposición de la
velocidad como la roja que estamos viendo ¿no?,
pero ¿qué tal si la pongo de un color azul?
Bueno, realmente no es el color lo que
importa ¿no?,
lo que importa es que les he puesto una velocidad que está sobre la roja ¿no?
y al decir sobre la roja quiere decir que es una velocidad mayor ¿no?,
que el valor numérico de la roja que era constante.
En consecuencia si pensamos ahorita en la posición necesariamente va a tener que ser
una recta porque la velocidad era constante
pero acuérdense de las inclinaciones, mayor velocidad ahora,
el chico va más rápido y entonces la inclinación de
la recta es diferente, se fijan, es como esta por ejemplo
esta es una de muchas, por qué digo de muchas,
porque realmente pudimos haber puesto la posición inicial en diferentes lugares.
Entonces you tenemos en nuestro dibujo el color rojo y color azul, pero
igual pudimos haber regresado a la velocidad
y haber supuesto una velocidad verde ¿no?
Esta velocidad verde si ustedes notan, es una
velocidad positiva pero es menor que la roja
y que la azul, ¿cuál es la consecuencia?
you se lo estarán esperando ¿no?,
la inclinación de nuestra recta acá es más hacia la horizontal ¿no?
está tendiendo más hacia la horizontal lo que nos está señalando que
la velocidad es menor, el chico Tec va a ir digamos despacio ¿no?,
es medio lento este chico, ahora, cambiamos
posición inicial y tendríamos una lluvia ¿no ?aquí
de líneas
punteadas verdes que nos estarían recordando que la posición inicial puede
ser muy distinta. Regresemos a nuestra velocidad ¿por qué?,
porque todavía me queda la oportunidad de ponerles una velocidad negra ¿no?
Esa velocidad negra es una velocidad que ahora se
encuentra en la zona negativa, ¿qué quiere decir esto?
Que el movimiento ahora debe de ir hacia la izquierda ¿no?,
¿por qué?,
porque la velocidad es negativa.
Entonces ¿qué va a pasar acá con nuestro gráfico de la posición?
El gráfico de la posición tiene que mostrarnos que
la velocidad es negativa, tiene que mostrarnos que el chico
iba hacia la izquierda, y la consecuencia de esto en
el gráfico es una recta con una inclinación negativa ¿no?
Y ahí tenemos esta recta aquí
esta decreciendo significando que nuestra velocidad
es negativa.
Nuevamente podemos poner un montón de rectas punteadas simulando que podemos
hacer el cambio de la posición inicial a cualquier lugar ¿no?
Terminemos nuestra velocidad poniéndole una velocidad amarilla
como esta que tenemos aquí, y esta velocidad al ser una velocidad más
negativa, nos estaría indicando un movimiento hacia la izquierda
pero más rápido ¿no?,
más rápido que se supuso con la velocidad negra.
Entonces la consecuencia del gráfico de la posición va a ser ¿qué?
Una inclinación mayor ¿no? pero negativa.
Aquí la tenemos dibujada en nuestra recta y
otra vez tenemos un montón de rectas ¿no?
junto con ellas.
you están viendo porque la obra se llama collage de posibilidades.
Aquí ahorita tendríamos en esta última imagen
algo que a lo mejor alguien diría si empieza ahorita a ver esta animación ¿no?,
esta presentación, vería pues quien sabe de que se tratará esto ¿no?
pero se ve bonito la combinación.
Para nosotros ahorita esto tiene mucho significado, todo el significado que el
contexto del movimiento, el contexto real
del movimiento nos ha permitido asignar ¿no?
a nuestro modelo lineal.
Esta columna que hemos
hecho es del modelo lineal. Vamos a pasar a la segunda columna, porque
en esta segunda columna, lo que tendremos es la narración de un modelo cuadrático.
¿Qué va a pasar entonces ahí con la aceleración?
La aceleración tendría que ser ahora por ejemplo, una aceleración roja
como la que tenemos aquí que estaría siendo positiva y constante ¿no?
Esta aceleración positiva y constante
va a tener como consecuencia la velocidad, una velocidad por ejemplo como esta ¿no?,
una velocidad que está representada por una recta y es creciente,
cierto, por qué una recta, porque su razón de cambio es constante.
¿Por qué creciente?,
porque esta aceleración que es su razón de cambio es positiva.
¿Okay?
Entonces con esta velocidad en particular yo tengo acá la consecuencia
en la posición. ¿Cómo sería esa consecuencia?
Por lo que hemos visto, si vemos aquí esta velocidad, chequen ustedes que
siempre es positiva, eso va a ser que el gráfico acá siempre sea creciente.
¿Okay?Por otro lado la velocidad aquí está creciendo
y eso you hemos visto que acá de distintas
maneras you lo hemos visto, que la consecuencia
va a ser en la curva una característica que
se llama concavidad hacia arriba.
De esta manera, esta curva por ejemplo estaría
representando lo que les he dicho con palabras ¿no?,
se trata de una gráfica que es creciente, ¿por qué?,
porque la velocidad es positiva, y es una gráfica concava hacia arriba, ¿por qué?,
porque esta velocidad es creciente ¿no? .
Vean ustedes que aquí se eligió una
posición inicial, esta posición inicial es arbitraria
realmente, la puse ahí porque quise ¿no?, pero, realmente pude haberla puesto en
muchos lugares, entonces aquí está digamos, lluvia de curvas ¿no?
punteadas, estarían señalándome la posibilidad de
poner la posición inicial en distintos lugares.
Chequen ustedes como, con una punteada como esta que está más arriba ¿no?
podría yo decir ahora que en este
caso no se pasa por el origen de la recta en que se mueve
el objeto que se este moviendo y que está representado con esta gráfica de posición.
En cambio por ejemplo la que si está contínua, esta si
me estaría diciendo que hubo un instante en que el objeto
pasó por el origen de la recta en que se mueve,
se los señalo con el cursor ahí, ese es ese instante ¿no?
La de información puede ser distinta según la posición inicial.
Pero vayamos acá a nuestro caso de la velocidad
porque realmente esta velocidad roja no tiene que ser
nada más así, pudo haber sido por ejemplo azul
y con azul ahora ¿a qué me estoy refiriendo?
Me estoy refiriendo al color, nada más ¿no?
sino me estoy refiriendo a que tengo una
velocidad que comenzó con una velocidad inicial de
cero, se fijan, esta es la diferencia con respecto a la roja, que ahora esta empieza
en una velocidad inicial cero, o sea que el objeto el chico Tec, lo que
sea, la párticula, va a comenzar su
movimiento a partir de estar en reposo, ¿okay?,
es donde se arranca ¿no?
para moverse.
Entonces la diferencia que se va a hacer
con respecto a esta gráfica roja es una diferencia
que a mi me da gusto ver como los
estudiantes pueden inferirla después del trabajo que hemos hecho.
Esa diferencia tiene
que ver con una cierta manera de despegarse de la curva, esto está muy
pronunciado aquí, yo lo sé, estas gráficas si no las hice yo con un graficador.
Estuvieron más bien hechas ahi con el con digamos las herramientas de powerpoint.
Entonces pero lo que quiero si mostrarles es como esta manera de subir la
roja es distinta de la azul, en el sentido de como que hay más zona en donde
la curva se mantiene o sea, se desprende despacio ¿no?
de la horizontal, o sea eso esta más bien como
una consecuencia que el objeto comienza con una velocidad inicial cero.
Ahora ¿que pasó aquí?,
puse una posición inicial que no tiene que ser ahí,
pudo haber sido ahí, pudo haber sido en cualquier lugar.
Pasemos ahora a una gráfica como esta, como esta que tengo ahora en tono verde.
¿Qué está pasando con
esta gráfica en tono verde de la velocidad?
Sigue siendo una velocidad que responde a esta aceleración, aquí
you no pude mantener el mismo color, se fijan, pero sigue
siendo como la aceleración es constante y positiva, la gráfica
de la velocidad es una recta y es una recta creciente.
Lo que pasa es que ahora la pusimos con una velocidad inicial negativa y entonces
va a haber un instante que la velocidad sea
cero, y en ese instante cambia la velocidad a
ser positiva y eso debe de recordarles a ustedes
que el chico por ejemplo iba hacia la izquierda,
se para, y después sigue a la derecha o sea va a la izquierda cada vez más lento
se va a parar un instante y luego se
regresa a la derecha cada vez más rápido ¿no?
Entonces aquí ¿cuál
sería la consecuencia en el gráfico de la posición?
Vamos a ver esa consecuencia, en este momento nos quedaría
de esta manera, vean esta gráfica azul que apareció aquí.
¿Cómo esta haciendo ?,
este recordatorio de que la velocidad va ahorita siendo negativa, por
eso el gráfico decrece y después es positiva por eso el gráfico crece ¿no?
Por otra parte
al ser nuestra velocidad una velocidad creciente, la
concavidad del gráfico verde es hacia arriba ¿no?
Aquí hay una posición inicial, fíjense por ejemplo en este caso yo diría el
chico va a la izquierda cada vez más lento, se para, luego va a
la derecha cada vez más rápido, y nunca pasó por el origen de la
recta en que se mueve porque esta gráfica no toco aquí el eje horizontal.
Sin embargo
puedo suponer diferentes posiciones iniciales ¿no?
y en estas diferentes posiciones iniciales, tendríamos la
posibilidad de movimientos en donde por ejemplo en este,
diríamos va a la izquierda cada vez más lento, y se va a parar hasta acá ¿no?
y entonces después de pararse pasó por el origen
de la recta en que se mueve, siguió a la
izquierda cada vez más lento, se para y sigue a
la derecha cada vez más rapido, pasa por el origen
de la recta en que se mueve y luego sigue a la derecha cada vez mas rápido.
A la mejor yo you estoy muy acostumbrada a hablar de estas cosas y bueno
esperaría yo que lo vean con detenimiento y se convenzan de lo que lo que les
estoy diciendo, you mi mente está habituada
a estar observando los graficos y visualizar cuando
hay cortes con los ejes o cuando no
los hay, a visualizar la concavidad, el crecimiento,
el decrecimiento, etcétera.
Vamos a poner acá una velocidad amarilla como la que tenemos ahorita.
¿Qué diferencia podríamos decir que existe entre la verde y la amarilla?
Realmente no hay diferencia en el sentido de que cambio de negativa a positiva, pero
el lugar en donde cambió, este lugar, es un tiempo distinto ¿no?
o sea si pensaramos en términos de movimiento diríamos
como que se tardó más en que iba hacia la izquierda ¿no?
y después se regresó, iba hacia la izquierda ¿no?
y después se regresó a la derecha.
Entonces ese se tardó más eso es algo que en el gráfico acá
arriba estaría representado como una curva como
la que les estoy ahorita dibujando ¿no?
o sea ese se tardó más vean, ese se tardó es justo este
momento, y este momento coincide aquí donde
esta recta amarilla cruza el eje horizontal,
diferente del momento en donde la recta azul digo perdón verde
la cruzó, que nos da lugar acá a este otro punto.
En el lenguaje que you hemos manejado llamaríamos el punto mínimo ¿no?
de la gráfica se encuentra en un tiempo distinto, en un mayor tiempo para la
grafica amarilla, pero sigue siendo una curva que
es decreciente y luego creciente y que siempre
está concava hacia arriba ¿no? Con esto you lo que tendríamos
ahorita, digamos es con todas sus compañeras es las distintas posiciones
es una representación gráfica llena de color, de lo que sería
un movimiento rectilíneo uniforme en la primera columna y un
movimiento uniformemente acelerado en la segunda.
Yo los invito a que reflexionen un poco en
esta imagen, ahorita que la tenemos aquí, nos falta
una columna lo hacemos en el próximo video, en
esa columna you se imaginarán que es lo que me
está faltando por hacer o sea no es que
vaya a cambiarles que la aceleración no sea constante,
va a seguir siendo constante pero ahora la vamos
a poner en una posición negativa, un valor constante negativo.
Entonces yo los
invito a reflexionar en estos dibujos, a reflexionar un poco
pensar en cual es la representación algebraica en ellos, ¿okay?
en los que están en una columna en la primera columna y en la segunda.
Cuando regresemos en nuestro próximo video, lo
que vamos a hacer es completer nuestra tercera
columna, you se la imaginarán como va
a estar, y finalmente haremos la síntesis algebraica,
ahí van a ver ustedes, van a entender que también lo algebraico tiene mucho
poder, matemáticamente el poder de lo algebraico es inigualable ¿no?,
tendremos la oportunidad de ver que todo este collage
de posibilidades se puede concretar en una sola fórmula ¿no?
esta que me representa a todos los colores y a todos los sabores ¿no?
Yo los espero
para la próxima sesión en donde
completaremos esta tercer columna, hablaremos de
lo algebraico, y bueno pues estaremos listos otra vez para incursionar ¿no?
en este tratamiento de estar pasando de una representación a otra.
Los veo entonces.
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