Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Del juego algebraico al juego gráfico
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
Conheça os instrutores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues ahora you podemos usar este término de derivar, y vamos a hablar
de X's y Y's sin olvidar nunca que la y puede estar representando a una magnitud
de interés que estoy estudiando, y esa
magnitud está variando con respecto a otra,
está cambiando con respecto a otra magnitud,
la cual estoy llamando con la letra x.
Entonces, si vemos en la pantalla, tenemos aquí nuestro resumen.
También aquí los invito a que lo vean muy de manera visual.
Tenemos una magnitud representada como la función cuadrática y igual a f de x igual
ax cuadrada más bx más c y tengo su razón de cambio, o sea, el cociente
de diferencias dado por la derivada, como y prima igual
a f prima de x igual 2ax más b, donde, les invitaba a hacer esta algoritmia
para encontrar la derivada a partir de la
función o la función a partir de la derivada.
Dijimos que íbamos a trabajar un poquito como para encontrar cierta habilidad
en estas formas de encontrar derivada a partir de la función o viceversa.
Entonces, hagamos un ejemplito nada más,
o sea, para no dejarlo así. Pensemos que nuestra función es, y lo voy
a poner aquí arriba de mi y igual un medio de x cuadrada menos 5
tercios de x, más 7 novenos. Me gustaron los números racionales, ahora.
Esta es mi función.
Tiene la derivada, la derivada sería: bajo este dos
por el un medio y me queda 2 entre dos
x, menos un 5 tercios, queda la x, digo, perdón, you no
aparece la x, o sea, nos queda x menos 5 tercios, ¿no?
O sea, ese es el proceso de derivar, ¿okay?
Supónganse que quiero irme al revés o sea que me quiero ir
de aquí, vamos a ver si me deja cambiar rápido el color.
Me quiero ir de aquí para acá, ¿no?
Claro que me tienen que dar este dato inicial.
Entonces, para recuperar,
a partir de la derivada, la magnitud, lo que yo haría sería poner el dato inicial,
que se nos tiene que dar como dado, dato inicial, y después de eso, ese 5 tercios
que está aquí lo voy a acompañar de una letra x, recupero el término que está acá,
y después, el término x que está acá le voy a acompañar con un x cuadrada entre
dos, ¿no?
como you lo habíamos hecho con anterioridad,
y you recuperamos la función que teníamos arriba.
Esa es la mecánica, esa es la algoritmia para encontrar la
derivada de una función, o la antiderivada de una derivada, ¿okay?
Entonces ahorita, lo que me gustaría es que, aparte que dominemos esto,
también veamos desde el punto de vista gráfico lo que está pasando.
Yo me acuerdo que,
cuando habíamos visto un archivo en Graphmática, vimos como tres parábolas,
si las recuerdan eran una parábola roja, una azul y una verde.
Cuando las derivamos con Graphmática nos quedaba la misma recta.
¿Qué es lo que estaba pasando en esa ocasión?
Lo que estaba pasando es que la función que yo les di era un
9 x cuadrada más 6x más 1, después puse menos 1 y después puse
más 2.
Entonces, cuando varié solamente el valor inicial, ¿okay?,
al variar ese valor inicial no se afecta a
la derivada La derivada aquí sería el 18x más 6.
Y eso nos va a quedar igual en la expresión, digamos, nos va a quedar la
misma expresión algebraica para la derivada, y por
eso Graphmática nos aparecía la misma recta, ¿no?,
como la derivada.
En ese sentido,
quiero que recuperemos las cosas usando los gratificadores, pero ahorita
les traigo una propuesta en particular con el uso de
un graficador que me va a permitir ver, una variación
en el comportamiento de la derivada y de la función.
O sea, ese graficador, yo lo que les puedo ofrecer es
tener los archivos en nuestros recursos y ustedes pueden bajar el viewer,
que es algo también gratis, para que lo puedan utilizar.
Ahí les voy a ordenar todos los archivos que veamos y
que les sean de utilidad después para que ustedes los repasen.
Se llama Graphing Calculator, el graficador.
Le voy a decir aquí que lo mantenga, y déjenme que les muestro
cuál es el archivo que quisiera que trabajáramos un poco en nuestra mente.
Ahorita lo tengo en la pantalla.
Vean ustedes que le puse
al graficador y igual a a x cuadrada,
o sea, estoy poniendo ahorita, en este vídeo,
una función cuadrática muy sencilla, no tiene término
con x ni el término constante, ¿se acuerdan?
ax cuadrada más bx más c, hagan de cuenta que la b y la c valen cero, ¿no?
y you no aparecieron.
La derivada de ax cuadrada va a ser, bajo el
dos, por a, me queda 2ax, ahí está la recta.
Y entonces,
ahorita, por ejemplo, tengo en esta imagen una
parábola y una recta, su correspondiente derivada, ¿okay?
Ahora, estoy trabajando con el valor 3.2, si vieron
el cursor acá abajo, esta barrita de aquí me
va a permitir que se varíe el número que
está representado con la letra a, el parámetro a.
Al variar ese parámetro a va a pasar algo como lo que les voy a mostrar ahorita,
y después empezamos a pensar qué puede estar sucediendo, ¿no?
Vean ahorita cómo está variando la situación, entonces, con este graficador
tengo la ventaja de poder ver en acción una variación del
parámetro a y quisiera que pudiéramos observar algunas cosas, ¿no?,
de lo que está pasando. Es muy, como les diría,
alentador ver que cuando los estudiantes están viendo
este tipo de situaciones you pueden adentrarse, ¿no?
un poquito más en la matemática y entender la importancia de las
relaciones de lo algebraico, de las
relaciones entre lo gráfico y lo algebraico.
Por ejemplo, miren, voy a pararlo ahorita. Me voy a permitir pararlo
y asomar ahorita los parámetros.
Esto es algo que ustedes van a poder hacer.
En la variación de la a yo puse desde menos 10 hasta 10.
Yo quisiera poner ahorita un 0, ¿no?,
para que no tengamos ahorita valores de la a que sean negativos.
¿Qué va a pasar entonces?
Vean ustedes la animación.
Lo que estoy logrando con esto es que la gráfica de la parábola
nunca cambie su concavidad, o sea, es cóncava arriba, cóncava arriba.
Hace rato se nos pasaba para abajo.
Ahora no.
No se pasa hacia abajo. ¿Por qué?
Porque estoy dejando que este coeficiente a sea positivo.
Ese coeficiente tiene que ver con esta letra a que tiene que ver
con lo que está detrás, el coeficiente detrás de la t, en la velocidad.
O sea, estoy hablando de la aceleración, que es constante.
¿Okay? Es una aceleración
positiva, o sea, que ese abanico que nos imaginábamos iba
siempre a estar soplando para empujar hacia la derecha ¿okay?
Y entonces, el gráfico nos va a quedar siempre de esa manera, ¿no?
en este, en este caso nos permite ahora tratar de
pensar qué pasa entre lo rojo y lo azul, ¿no?
Voy a darle una pausa.
Este graficador tiene la ventaja de que, miren, con este
cursor, si, yo puedo irme aquí y lo pongo y muevo, ¿no?
Muevo, muevo el parámetro.
Ahí está en 5.5, me voy a ir a más abajo, más abajo, vámonos aquí.
Vean ustedes, es un 0.1 y vean cómo la parábola queda bien abierta, ¿no?,
y la recta queda poquito inclinada, ¿okay?
¿Qué pasa si empiezo a aumentarle el valor al parámetro?
Ahí tengo
0.8, ¿no?,
y en ese 0.8 la parábola se cerró un poco, y
vean a inclinación de la recta, que es la derivada, ¿no?
Si lo movemos un poquito más, pongámosle un 1.3, ¿no?
Vean ustedes ahora qué pasó. A medida que estoy aumentando el valor del
parámetro, la parábola se está cerrando. Se cierra, se cierra, se cierra, y ¿qué
pasa con la inclinación de la recta que es su derivada?
Esa inclinación tiende hacia la vertical, ¿okay?
O sea, esta idea me está haciendo pensar en
que, en una relación entre parábola y recta, ¿no?,
donde la inclinación, ¿sí?,
donde la inclinación de la recta, mayor inclinación, ¿no?
con respecto al eje, cercana al eje y me corresponde
con una mayor, digamos, que se cerró un poco
más, la abertura de la parábola, es menor, ¿no?
O sea, me muevo más hacia la derecha,
o sea, valores del parámetro más grandes y la
parábola se cierra más, la recta se pega más al eje vertical, nunca se va a pasar.
Nunca se va a pasar, porque, en este caso, tenemos
una aceleración, positiva, o sea, la pendiente de esta recta es
positiva, ¿no?
Por otro lado, si ahora me permito cambiarle en el
parámetro los valores y ahora decimos desde, ¿qué le ponemos?,
desde menos 10, como estaba, ¿no? hasta 0, vamos a ponerle hasta 0, entonces
veamos la animación, y vamos a tener lo mismo pero reflejado, ¿no?
¿Cierto? Pero vean cómo coincide lo que les decía.
Piénsenlo con respecto al eje vertical.
O sea, mientras la recta roja esté
menos inclinada entonces, la parábola más abierta, ¿no?
Y cuando la recta roja está más inclinada, como
por ejemplo ahorita, entonces la parábola se cierra, ¿okay?
Esto da una sensación you, de la
importancia de relaciones entre función y derivada.
Había algo que yo había notado cuando estaba haciendo ese archivo.
No sé si me permite, déjenme verlo ahorita, porque
me gustaría plantearlo con un problema, si nos queda tiempo.
No sé si podamos resolverlo o bien lo retomamos después.
Pero miren ahorita esta animación, y vean siempre
como es importante que la recta y la parábola se van a cortar,
o sea, se intersectan aquí, ¿ven? Ahí hubo una intersección.
Voy a moverlo un poquito más, y
ahí también sigo teniendo la intersección, ¿ven?
Vamos a moverle ahí, ¿ven, que está ahí la intersección?
O sea, siempre, siempre se van a intersectar la recta y la parábola.
¿Ven?
Siempre hay una intersección entre la recta y la parábola.
Ahorita los estoy forzando a que vean este punto, ¿no?,
donde se intesectan.
Si le muevo un poquito más you se me fue el punto, ¿ven?,
you quedó más arriba, pero si la bajo tantito, ahí está, ¿ven?,
ahí está la intersección, ¿okay? Siempre va a haber una intersección.
Allí, ahí está la intersección, y esta me sirve para que ustedes
vean, ¿ven cómo parece que esté en el dos? Está en la altura dos, ¿sí?
Si yo ahorita le digo al
graficador que me ponga la recta x igual a 2, vamos a ponerla aquí con moradito, ¿no?
¿Sí?
Veamos lo que pasa con la animación.
Vean ustedes, bueno, ahorita no la podemos ver, anda ahí abajo, ¿no?,
pero ahorita que venga, no sé si lo alcancen ustedes
a percibir, voy a tratar de abrir esta imagen más.
Si no lo han notado les digo, bueno, lo podrán hacer
con más detalle, pero eso es lo que me gusta también del uso de
la tecnología que ahora tenemos tan a la mano, que podemos ir más allá.
Vean como en cualquier lugar que yo ponga siempre, siempre, en la
intersección entre la recta y la parábola, está en x igual a 2.
¿Okay?
x igual a 2. ¿Qué hemos hecho
hasta ahorita? Vamos a poner aquí una imagen, ¿no?
Hemos hecho dos cosas en este vídeo, bueno, tres, tres, ¿no?
La primera fue jugar un poquito con esto
de las expresiones algebraicas para poder derivar, ¿no?,
y antiderivar.
En el caso que tenemos ahorita, pues sería como tener, la pluma negra,
a ver: y igual a x cuadrada, y decir, la derivada es pan comido,
es 2ax, ¿no?
Si me voy de aquí para acá, bajé el dos, multiplicando por la a.
Si me quiero ir de aquí para acá, lo que voy a hacer es, al 2a lo dejo igual, a la
x lo elevo al cuadrado y divido entre dos y you llegué a ax cuadrada, ¿no?
En todos estos casos les puse que tanto la cuadrática como la
lineal, la función y la derivada, tuvieran valor inicial 0, ¿okay?
Y, por otro lado, también estuvimos viendo que
había una relación entre la, digamos, lo que se
abre la parábola o se cierra y la
inclinación de la recta que es la derivada, ¿no?
A mayor inclinación con respecto a más pegado al
eje y la parábola es más angosta y a
menos inclinación de la derivada, o sea, más pegada
al eje x, la parábola es más, más ancha, ¿no?,
más amplia.
¿Okay?
Bueno, esas cosas las vamos a
seguir escarbando todavía en los siguientes vídeos,
pero ahorita, la otra, la tercera cosa que vimos es esto que está aquí,
algo que me llamó la atención cuando veía esta animación.
Yo observo que la parábola y la recta se
intesectan, pero no son cualquier parábola con cualquier recta.
Es la parábola con la recta que es su derivada, ¿no?
Y parece, da la impresión de que es en x igual
a 2.
¿Qué es lo que tendríamos nosotros que
hacer para que, matemáticamente, comprobemos que así es.
Vean ustedes que lo que estamos haciendo ahorita es llamar
la atención sobre, vamos a ponerle aquí, este lugar, ¿no?
Y en ese lugar, lo que tenemos es la intersección de dos rectas.
O sea, tenemos que la parábola, la
intersección de dos rectas, dije, sí bueno,
pues sí, la morada y la roja, no, pero es más
que todo, la intersección de la parábola con la recta roja, ¿okay?
Azul y roja, ¿okay?
Y lo que estamos entonces haciendo con ello es
pensando en la intersección de una parábola con una recta.
¿Cómo sacar la intersección? Si la parábola es y igual a ax
cuadrada y la recta es 2ax, ¿sí?, lo que estaríamos nosotros
jugando con este, con este lugarcito que está aquí es pensando en cuándo los
dos valores coinciden, o sea, estos dos, cuándo coinciden.
Coincidir en esto valores es decir matemáticamente que los igualemos,
o sea, vamos a pensar dónde es y igual a y prima, en qué valor de x tengo que
y igual a y prima.
Eso nos genera la expresión ax cuadrada más
2ax igual, o perdón, ¿por qué puse más 2ax?,
estaba pensando en otra cosa, ax cuadrada igual a 2ax, ¿no?
ax cuadrada, aquí tenemos un borradorcín, okay, vamos
a ponerlo otra vez ax cuadrada igual a 2ax.
Okay.
Esto es una ecuación,
sí, que es cuadrática, ¿no?
Si paso un término de aquí para acá me
quedaría ax cuadrada menos 2ax igual a 0, ¿okay?
Y esta cuadrática, esa ecuación cuadrática que
les estoy poniendo se ve difícil porque
tiene el parámetro a pero es sencilla
porque no tiene el coeficiente c, ¿se acuerdan?
Esta es de las ecuaciones que yo les he dicho, no merecen
la fórmula general.
Si ustedes ahorita observan que hay una a y una x de factor podrán hacer la
factorización a por x que multiplica x menos 2 igual con 0, ¿no?
Y en este momento les recuerdo esa disyuntiva que planteamos.
Para que el producto de dos números me dé 0, uno de ellos tiene que ser 0 a fuerza.
Entonces, ¿eso me lleva a qué? A que ax igual a 0, de donde x igual a
0 entre a, que es lo mismo que cero, ¿sí? O, en el otro
caso, x menos 2 igual a 0, de donde x es igual a 2.
Y ahorita estamos comprobando lo que el graficador nos ofreció visualmente, ¿no?
¿Se fijan?
O sea que,
inevitablemente, es en x igual 2 donde todas estas parábolas
se van a interceptar con sus correspondientes rectas,
que es la ecuación, o la función, perdón, de su derivada, ¿no?
Sacamos entonces una relación curiosa, ¿no?,
en este tipo de animación, con el uso del software, perdón, Graphing Calculator.
Yo les pongo este archivo para que ustedes puedan jugar con él, ¿no?
y lo puedan ver.
No van a poder hacer modificaciones, más que
solo usarlo si es que tienen el viewer.
Si no, adquieren el software.
Y, por otro lado, les pido que para la próxima sesión traigamos nuestro
archivo de Graphmática, donde me gustaría hacerles
unas indicaciones para que lo tengan preparado.
Vean ustedes el
menú de "opciones" y les voy a
pedir que entren al graphpaper, aquí está, graphpaper.
Dentro de graphpaper, acomoden ustedes para que los colores, aquí
está el menú de colores, sean más acordes a lo que
necesitamos que estemos en esta ventana con el blanco para
el fondo, y vean ustedes como las gráficas pueden cambiar color.
Entonces pongan
en la gráfica uno azul, pongan en la gráfica dos un rojo pongan
e la gráfica tres un verde y vuelvan a repetir la acción gráfica
cuatro, azul, gráfica cinco, rojo, y gráfica seis, verde, ¿okay?
Los espero para entonces, en donde con estos colores señalados va a
ser más fácil que nos podamos comunicar mientras ustedes ven el vídeo.
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