Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Análisis de gráficas y retorno a lo algebraico y numérico
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Do curso por Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Na lição
Concibiendo un movimiento MUA
Retomaremos el Movimiento Rectilíneo Uniforme para con él concebir un movimiento en el que la velocidad varíe uniformemente. En esto la tecnología tendrá una participación decisiva. Podremos entonces hablar de un Movimiento Uniformemente Acelerado.c
Conheça os instrutores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
iii Habiendo, entonces, aceptado que una velocidad
puede ser decreciente y el movimiento, sin embargo, ser cada vez más rápido.
Me gustaría que ahora sí sobre el papel pongamos,
este conocimiento, no, al servicio de avanzar un poquito más.
Entonces, si me acompañan ahorita, lo que tengo en, este, esta presentación,
bueno en este papel, son cuatro casos,
no, que he sacado, digamos, del software Simcalc.
En ellos pueden ustedes observar que para el primero de ellos, tenemos
una velocidad positiva, porque estamos arriba del eje, ¿si?
Es creciente, ¿Cierto?
O sea, vamos a ponerle aquí, esta velocidad es positiva, es creciente,
Y, este caso de velocidad positiva y creciente nos dió una gráfica
aquí de la posición, Que la estamos viendo que crece, y si recuerdan ustedes,
o sea, lo que les decía con respecto a la mano, hacia donde apunta, no, la palma de
la mano, tendríamos que decir, es cóncava hacia arriba.
¿Okay?
Por otro lado, en el gráfico que tengo a la derecha, ¿qué fue lo que hice?
Esta misma velocidad, es la misma, se fijan, están igualitas, ¿no?
Lo que hice fue mover a la monita, o
sea, en lugar de que estuviera aquí, en el origen,
la puse acá, un poco más atrás, entonces aquí se
ve un dato de posición inicial distinto, Pero el gráfico
sigue siendo igual, o sea, ¿ahí qué tendría que poner?
Vamos a abreviar un poquito si me permiten, esta velocidad es positiva.
Esta velocidad es creciente. Y aquí nuevamente
tengo un gráfico de la posición que crece, y nuevamente tendríamos
que decir que la concavidad, es hacia arriba.
¿De acuerdo?
O sea, los dos casos que tenemos aquí en la parte superior
son prácticamente el mismo, la única
variación es que cambiamos la posición inicial.
Vamonos ahora con los gráficos que están en la parte inferior.
En estos gráficos, ahora sí, you vamos a tener el caso de una velocidad que es,
negativa, vamos a ponerle aquí v negativa. Es una velocidad que,
es decreciente, fíjense ahorita ustedes como en mi trazado, ¿no?
De la gráfica, tomo el marcador y siempre voy haciendo
un dibujo de izquierda a derecha, como escribimos, de izquierda
a derecha, y entonces, el dibujo va hacia abajo, no,
eso lo que me está indicando que la velocidad es decreciente.
La referencia en un gráfico que algo decrece es con
respecto a su dibujo, ¿no?
Mientras yo respete el dibujo o el trazo del dibujo de izquierda a derecha.
Habrá quien me ha dicho, mire que crece,
porque lo empiezan a dibujar de esta manera.
Pero igual, tenemos que tener ciertas convenciones, ¿no?
Y yo creo que lo más adecuado es
de que siempre, como escribimos, así mismo también dibujemos.
En ese sentido, este trazado
es decreciente.
De la misma manera, aquí se ve que este trazado decrece, ¿no?
La gráfica de la posición es decreciente, pero si
ahora piensan en la palma de la mano, ¿no?
Que estaría a puntando hacia abajo, con esta curvatura que tenemos aquí.
Entonces diríamos aquí que tenemos una gráfica cóncava, hacia abajo,
¿okay?
Por último, en este otro gráfico que tenemos a la derecha,
lo único que hice fue cambiar la posición inicial de la chica.
Y entonces, tenemos una posición inicial positiva, y
eso no afecta, digamos, la forma del gráfico.
Vean como esta misma curva que tengo aquí es prácticamente la que está acá, ¿no?
Es una copia de ella, pero puesta
en una posición más arriba, ¿no? Tenemos, entonces, aquí otra vez una
velocidad que es negativa, y una velocidad que es
decreciente, el gráfico va hacia abajo, se fijan, decrece.
Y aparte, acá tenemos un gráfico de la posición que es
decreciente, va hacia abajo, y es cóncavo,
hacia abajo. ¿De acuerdo?
Si estuviéramos viendo estos cuatro gráfico así
como los tenemos y quisiéramos encontrar relaciones entre
ellos, Me gustaría, o sea, que pusieran
ustedes atención a las cosas que son comunes.
Miren ustedes en los dos gráficos que tenemos arriba, que lo que es común es que
la velocidad es positiva. La velocidad es positiva.
O sea, el gráfico de la velocidad está arriba del eje, ¿no?
O sea, en los dos casos, que tenemos en esta parte superior, la velocidad
es positiva, vamos a hacer una abreviación en este sentido¿, ¿okay?
Velocidad es positiva.
¿Qué es lo que pasa en los dos gráficos que tenemos acá abajo?
En estos dos gráficos tuvimos que aceptar
que la velocidad es negativa igual que acá.
¿No?
Entonces, lo que tenemos en común en los dos gráficos
que están aquí abajo es que su velocidad es negativa.
¿Okay?
Por otra parte, ¿Qué tienen en común las velocidades en los dos dibujos de arriba?
Y ¿qué tienen en común abajo? Pues lo que tienen
en común, aparte de lo positivo, arriba.
Es que tenemos que la velocidad es creciente.
Acá también dice crece. ¿Okay?
Entonces aquí podríamos agregar que la velocidad crece, ¿no?
En estos dos gráficos que están abajo, ¿Qué va a pasar con la velocidad?
Es decreciente,
es decreciente. Entonces pongamos aquí v decrece.
¿De acuerdo?
Entonces tenemos, digamos, una separación aquí.
Los gráficos en la parte superior tienen una velocidad positiva y creciente.
Los gráficos en la parte inferior tienen una velocidad negativa, y decreciente.
Y ¿qué es lo que pasa con las gráficas de la posición?
Veamos las gráficas de posición en la parte superior, ambas gráficas
tienen esta propiedad de ser ¿qué? Crecientes, ¿no?
Vamos a ponerle aquí crece, Crece.
¿Cierto? Entonces, si pusiéramos aquí entonces,
esto comparado con los gráficos de abajo. Vean la coincidencia, decrece y decrece.
¿Okay?
Entonces, podríamos agregar a nuestra lista, ¿no?
De observaciones, que la posición, vamos a ponerle aquí, La posición x, ¿no?
Crece.
Y acá la posición x decrece. ¿De acuerdo?
Estamos haciendo esa lista, digamos, de cosas en común
entre los gráficos de arriba y los gráficos de abajo.
Bueno, esto que acabamos de hacer ahorita, ¿no?
Con respecto a que la posición crece, O decrece, es algo
que you habíamos observado desde que hemos estado utilizando a Simcalc, ¿no?
¿Por qué?
Porque sabíamos que si la velocidad era positiva, La chica va a
la derecha y entonces el gráfico de la posición tiene que dibujarse creciente.
Entonces, yo diría que esto
está relacionado con esto, ¿no?
La velocidad positiva se relaciona con el crecimiento de la gráfica de posición.
Y la velocidad negativa se asocia con el decrecimiento de la gráfica de posición.
Finalmente el otro dato que nos falta conectar, ¿no?
Ahorita con respecto a la gráfica de posición, Es
que tenemos aquí el caso de una concavidad hacia arriba,
concavidad hacia arriba, todo esto en los gráficos de arriba, y acá tenemos
concavidad hacia abajo con los gráficos
de abajo, coincidieron las palabras ahí, ¿verdad?
Arriba y abajo, y acá tenemos concavidad hacia
arriba, y acá tenemos concavidad hacia abajo, ¿okay?
Entonces, vamos a agregar eso a nuestra lista.
Agarremos otro color, por aquí, a ver cual sale, este morado, vamos a poner aquí, x,
más bien es la gráfica de x es, cóncava
hacia arriba, ¿no? En cambio,
en los gráficos de acá, de la parte
inferior, x es cóncava, hacia abajo.
Y esa
concavidad hacia abajo la vamos a ligar ahora, fíjense, con lo que
es común en la velocidad, o sea, ahorita les propongo que veamos que
cuando una velocidad crece, la concavidad es hacia arriba, y que cuando la velocidad
decrece, el gráfico de la posición observa una concavidad hacia abajo.
Les estoy entonces planteando,
a partir de esa observación, ¿no?
De todos los distintos casos que tuvimos, que hay una correspondencia, ¿no?
De, velocidad positiva con crecimiento de posición.
Velocidad negativa con decrecimiento de gráfico de posición, ¿si?
Y aparte de eso, velocidad creciente con gráfica de posición cóncava arriba.
Y velocidad
decreciente con gráfica de posición cóncava hacia abajo.
Esto no está planteando la relación entre los gráficos de velocidad y de
posición, de tal manera que, podríamos,
digamos, intercalar, no, la información entre ellos.
Y poder responder a cómo va a ser la gráfica de la posición cuando tengo
algunas características de la gráfica de velocidad, o cómo va a ser la gráfica de
velocidad cuando tengo ciertas características
en la gráfica de la posición.
Están establecidas estas relaciones entre ellas.
Yo creo que ahorita es el momento de que sobre estas gráficas regresemos
en la representación algebraica a ver algunas consecuencias, ¿no?
Entonces, ahí es donde los invito a mi pantalla.
En mi pantalla ahorita tengo aquella
imagen con la que nos despedimos en una
ocasión anterior, acerca, no, de las expresiones algebraicas.
Y si ustedes recuerdan ésta imagen, tenemos
una velocidad que está dada por a por
t, donde observábamos que esta es justamente
el valor de la aceleración que es constante.
Aquí tengo una velocidad lineal, y aquí tenemos
una posición que está dada con la expresión
algebraica, valor inicial de posición más un medio
de la aceleración por el tiempo al cuadrado.
Nos tardamos nuestro ratito en llegar a esta expresión
algebraica, yo lo que quiero ahora es que la
retomemos en algunos de los ejercicios o de las
cuestiones, o de los casos que vimos en el papel.
Para eso, voy a traer una imagen que sea más fácil de, De visualizar, ¿no?
Que la que teníamos allí en el papel, realmente el papel
es, digamos, una impresión de estas imágenes que tengo ahorita en la pantalla.
Y vean ustedes que aquí tenemos un caso de una velocidad positiva creciente,
Que nos va a dar un gráfico de posición creciente cóncavo hacia arriba.
Tenemos que la chica estaba en una posición inicial de menos cinco.
Y tenemos que nuestra gráfica de velocidad variable, Cambia
uniformemente, o sea, es una velocidad que puede estar representada
mediante una función lineal.
Esa función lineal es la que estábamos
viendo ahorita en la otra, este, imagen, ¿no?
Que les mostré de la, de una sesión anterior.
Pero quisiera que la sacáramos ahora aquí, o sea, yo sé
que aquí la velocidad está expresada como un número por t.
¿Okay? ¿Cuál es este número que está aquí?
Bueno pues ese número viene siendo la razón
de cambio de la velocidad. O sea, estoy viendo a la velocidad ahora,
como una magnitud que obedece un cambio uniforme, ¿okay?
Y ésta, entonces, aceleración constante, que es la
razón de cambio constante de la velocidad, es
algo que gráficamente está representado por la inclinación
de la recta, no, de la recta de velocidad.
Esta inclinación la podríamos ahorita, en este momento,
calcular si pensamos en este segmento vertical, que mida una, qué digamos, un,
por no poner un entero, yo pienso que si sea un 5.5, espero no equivocarme.
Digamos que hay una altura ahí de 5.5, y el segmento horizontal,
o sea, que tendríamos aquí correspondiendo,
sería de cuánto, de diez, ¿no?
Entonces, yo puedo ver en este gráfico de la velocidad,
que el cambio de velocidad con respecto al cambio en el tiempo, es
como 5.5 es a diez. Entonces, aquí tendríamos, digamos, una
manera de representar lo que sería la aceleración constante,
con un número, 5.5 entre 10 pues es lo mismo que decir 0.55, ¿cierto?
Entonces, ahorita tenemos que este número a, que es la aceleración,
estaría dado por justamente el 0.55 t,
¿de acuerdo? ¿Cuál sería entonces el gráfico?
No perdón, el gráfico no, lo estoy viendo, ¿no?
¿La representación algebraica de la posición?
Sabemos que con esta expresión v de t igual a at, corresponde aquí a un
x de t, que es igual a x subcero, más un medio de a por
t cuadrada, eso es lo que habíamos visto you con anterioridad.
Entonces ahorita, viendo los datos que tenemos, este
menos cinco que donde está la chica, ¿no?
Acá en su posición inicial.
Pues esto nos lleva a que la expresión sea x de t igual a, ¿qué sería?
Menos cinco, más un medio de 0.55 por t cuadrado.
¿De acuerdo? Esto nos permitiría, bueno pues podríamos
poner menos cinco más 0.55 entre dos sería un qué, dos y luego llevaríamos 0.55
entre dos tendríamos otro dos, perdón, tendríamos un qué, siete, ¿verdad?
Y después tendríamos un 5.2 entre cinco, lo
hice bien, si no aquí tendremos nuestra, famosa,
¿no? Ipad para resolvernos el problema, estamos
con 0.55 entre dos, entre dos, ahí tenemos el resultad 0.275, lo hicimos bien.
Entonces nos traemos ese dato para acá, y tenemos nuestra expresión algebraica,
nuestra función, que es una función cuadrática que nos modela, lo que tenemos
aquí representado gráficamente. Esta representación algebraica, ¿okay?
Nos permite contestar las preguntas de predicción que nos hagamos, por ejemplo,
puedo contestarme, ¿En qué posición está la chica a los siete segundos?
Esa pregunta ¿cómo se contestaría?, bueno pues,
diciendo en qué posición la chica está a
los siete segundos es tanto como decir
cuál es la posición cuando tengo siete segundos.
Esto es una evaluación, evalúo, evalúo la función x de siete, ¿no?
Otra pregunta sería, por ejemplo, que esa es la
que me gustaría, no, con esta pregunta terminar esta presentación.
Encontrar este lugarcito, no, este lugarcito que está aquí que les acabo de
poner con la, con la, este, con la flecha, se los señalo nuevamente.
Ese lugar
que tenemos ahí, sería tanto como estarse preguntando porqué.
Estaríamos preguntándonos por, ¿en qué tiempo?
¿Cuánto vale t?
¿Cuánto vale t? Para que la posición x de t, sea cero.
Ese lugar que estoy señalando es justo cuando
la gráfica, la gráfica de la posición cruza
el eje horizontal.
Y eso es tanto como hacer de que esta chica llegue a estar aquí, ¿no?
Aquí, cuando llega al origen de la recta en la que se está moviendo, ¿no?
Entonces para contestar esta pregunta, lo que tengo de
datos es que ahí la posición es cero, ¿no?
Y esto me provoca, no, que lo que haga sea una igualación.
Esto es un igualar,
igualo la posición a cero.
Y encontraremos entonces el valor de t, ¿no?
Que lo satisface, vamos a hacerlo aquí, entonces, o sea,al igualar x de t con
cero, Tenemos entonces que menos cinco más 0.275 t cuadrada,
es igual a cero, de ahí pasaremos este menos cinco del otro lado de la igualdad.
Nos queda 0.275 t cuadrada igual a cinco,
de ahí t cuadrada es igual a cinco entre 0.275.
Y finalmente al despejar, sacar la raíz
cuadrada, siendo estrictos, deberíamos de poner más menos
raíz de cinco, entre 0.275, pero este valor negativo, este no, ¿Por qué este no?
Porque este valor de t negativo nos estaría
diciendo un pasado, y ahorita estamos, ¿qué hemos dicho?
En el presente.
Calculemos entonces con nuestra, este, calculadora acá.
Este valor numérico, eh, tendríamos que hacer nosotros qué, un cinco entre un
0.275, vamos a ponerlo 0.275 y ahí tenemos nuestra respuesta.
Y después vamos a calcular raíz, no sé si me la va a calcular así, vamos a decirle
la raíz de la respuesta, Y nos dice 4.264, hay otras cifras decimales.
Tomemos ese 4.264 como una aproximación.
Aproximadamente 4.264, el valor positivo. Y si nos vamos a
nuestro gráfico, Descansamos, ¿por qué descansamos?
Porque se nota que, más o menos era justo el lugar que deberíamos de haber obtenido.
O sea, hemos llegado a encontrar satisfactoriamente el valor
donde la gráfica de la posición, cruza el eje horizontal, en este
momento, en este vídeo, lo que hemos hecho es también una conexión.
Sacamos nuestros resultados de relaciones entre velocidad
y posición.
Por otro lado fuimos capaces de construir la función de
velocidad y la función de posición, para uno de los casos
particulares que analizamos, y pudimos
contestar preguntas de predicción acerca de,
por ejemplo, cuál fue el instante en que la chica, ¿no?
Paseando por el tec, llegó a la posición cero de la recta en que
se mueve.
Los invito a la siguiente presentación donde
ahondaremos ahora con otro tipo de movimientos.
iii
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