大家好!我是北京大学物理学院的侯爵。
今天我演讲的内容是物理学中悖论,双生子佯谬 而物理学是一门实验科学,同时它也是一门思辨的科学
在物理学发展史上有很多悖论,现在呢我们看来是佯谬
这些悖论在当时是引起很大的影响的,例如这个双生子佯谬,是在相对论建立的时候
由朗之万等人提出来对爱因斯坦相对论的质疑 在当时是非常著名的物理学家之间
激烈的讨论,而现在看来已经是得到一个非常,一个比较完美的答案
这个样子的话当时的悖论变成了现在的佯谬 今天我们要讲解的就是双生子佯谬
这一次的讲解我们会尽可能地避免数学,而直接从物理上来看双生子佯谬到底是怎么一回事
这是要讲解的一个大纲。
首先我们先介绍一下狭义相对论 因为双生子佯谬是狭义相对论的一个
佯谬,所以一定要有狭义相对论的一些基础知识 然后下面我们会介绍双生子佯谬到底是什么
然后会从几何的观点来解释一下双生子佯谬 这样就可以避免一些繁琐的数学公式的推导
使它真正地回归物理,看到它的物理实在 然后下面会有一些双生子佯谬的物理解释
首先我们先看一下相对论 在 相对论建立之初是有牛顿的时空观。
牛顿认为时间和空间是 时间是均匀地流逝的,就是说每一刻和上一刻 是没有任何差别的。
然后牛顿还认为空间是平直的,是各向同性的
就是说我们站在一个角度冲着一个方向和冲着另外一个方向是一样的,这叫各向同性
认为空间是平直的,就是说在这一个位置和在这一个位置这两个空间是没有差别的
同时牛顿还有一个对时空的观点,认为时空是什么? 就是一个物质的演化的舞台
时空提供了一个舞台,就像表演的时候的舞台一样 而物体在这个舞台上不断地演化
但是物体到底怎么演化,和舞台之间,舞台和物体之间没有任何联系 这是牛顿的时空观。
而狭义相对论就颠覆了这种时空观 狭义相对论,这种时空观的提出是这样的
首先在上个世纪初和上个世纪末的时候 这时候有一些著名的实验对这一个时空观进行了强烈的冲击
其中要尤其提到的是迈克耳逊-莫雷实验 迈克耳逊-莫雷实验是说,在牛顿的时空观的时候
与麦克斯韦方程不是相容 这时候就需要提出一种以太的假说
由以太来说明麦克斯韦方程在牛顿的时空观下是如何适应的
而迈克耳逊-莫雷实验就否定了以太假说 这就促生了狭义相对论的产生。
然后狭义相对论就提出来了 爱因斯坦包括其他的一些人,例如庞加莱
对这个狭义相对论的提出也做出了非常重要的贡献 狭义相对论也是讨论时间和空间的,它是怎么讨论的呢?它说
同时只具有相对意义 在一个参考系中看到同时发生的两件事情
在另外一个参考系中未必是同时的。
意思就是说 假设我现在站在一个站台上,有一个火车从我这边经过
我在站台 A 位置和站台 B 位置放了两块表
这两块表我认为它们两个是同步的,这个表指向 12 点,这个表也指向 12 点
但火车上的人看我这两块表却不一样,他认为我的 A 地方这块表指向
12 点的时候 B 地方的未必就是 12 点,也可能它已经是 1 点了,或者它是
11 点 这就是说,在火车这个参考系上看,同时 同时发生的两件事情便不同时了。
当然这个火车必须是相对论意义下的 也就是说火车有非常非常快的速度,以至于接近光速,可以是
0.8 个 c c 就是光速,可以 0.8 个 c 啊,0.7
个 c 等等等等 但是呢在平常的像 300 km/h
的这种速度下 火车上看这两个表,理论上是应该有差别的,但是差别小到以至于不能观察到
狭义相对论就提出了这么一种时空观,认为同时是相对的 同时狭义相对论还提出了测量的长度是相对的
也就是说一把尺子,我在站台上量它有一米,我在火车上看它好像没有一米啊 它只有
0.8 米啊等等。
这就是狭义相对论 的时空观。
同时之后,十年之后,爱因斯坦还提出了广义相对论 广义相对论的时空观颠覆了牛顿时空观的另外一个观点,就是
时空和物质是没有关系的 而广义相对论认为,首先,时间和空间到底有什么区别?
时间和空间在相对论看来几乎没有什么区别,时间和空间 就是一个东西,我们把它叫做四维的时空。
然后相对论还认为 一个大的质量的物体是可以扭曲时空的
也就是说时空到底是怎么样子的,是不是平直的,是不是均匀的,和物体是有关系的
质量大的物体就可以把空间变得不均匀,这就是扭曲 而这个已经在实验上得到了检验。
而相对论 再回到狭义相对论来说。
狭义相对论和牛顿的时空观 最根本的就是同时具有相对性。
其中一个很著名的 效应就是钟慢效应。
而这是刚才的那个同为相对性的一个重要的非常重要的一个推论 就是说一个时钟,还是刚才那个火车站台的问题
火车上有一个时钟,站台上有一系列的时钟。
然后火车上的时钟 火车和 A 地对好时钟,然后火车在一个小时后在站台上看到达 B
地,B 地也有一个时钟 这时候呢站台上的人看 A 的表走完一个小时,B
的表也走完一个小时 但是他看到火车上那个钟的时候就会发现
火车上的钟走的不是一个小时,可能是 40 分钟 50 分钟,这就是钟慢效应
比如说站台上看自己参考系内的时钟 走的所有时间都是一样的,都是一个小时。
而看火车上的时钟,就是说火车上的时钟走慢了 根据相对性原理,同理,火车上的人看站台的时钟
火车上也有时钟,我们叫做 A',然后还有一系列钟,有 B'
啊 C' 啊等等 然后开始 A' 和 A 是重合的
然后火车上看站台,认为站台向相反方向移动。
等到 A' 到达 B 地的时候
这时候我们可以认为火车上另外一个钟 C' 和 A 地的时钟重合了
然后火车上看,可能 C,可能 C' 这个时钟
它可能不是一个小时,也可能是 50 分钟等等 然后他再看
A 地的时候,认为 A 走的时间 比它所用的时间更短。
这就是钟慢效应。
钟慢效应的原因是什么呢?就是刚才所说的同时的相对性 开始对钟的时候,A'
和 A 时间是一样的 但是,在火车上看来,B
的时钟和 A 的时钟,它们两个时间并不是同步的
比如说站台上看同时的两个时钟,而在火车上看同时是不一样的 这两个时钟并没有同步,并没有同时。
这就是同时的相对性导致了钟慢效应 这是这个钟慢效应,就是下面的双生子佯谬的一个
非常直接的需要的一个解释。
首先 我们先需要引入一个闵可夫斯基空间。
这里边有两个空间,第一个是欧几里得空间,简称欧氏空间 第二个是闵可夫斯基时空,我们可以简称闵氏空间或闵氏时空
而在欧几里得空间中,我们先定义一下什么是欧几里得空间
欧几里得空间这样的,首先它是一个线性空间,它具有线性空间满足的一些性质 其次它还是一个定义了內积的空间
有了內积这个概念我们就可以定义距离,就可以定义 A 和 B 它们之间的距离到底多少。
然后它还是个实空间,就是它的里面的数都是实数 点都由实数来表示的点
就是说欧氏空间总的来说就是 定义了內积的实线性空间,这就叫欧氏空间
然后闵可夫斯基时空呢是 可以说是专门为了狭义相对论而发展出来的一套时空
它是三维的欧氏空间加上一维时间 就是说 x, y,
z 是点的位置,然后 t 是时间 这样的话它是欧氏空间衍生出来的,它也是线性的,也是定义了內积的
然后它也是,它在这里面看是实的 然后这个闵氏空间的话 就是把 t 和 x,
y, z 放在了相同的位置 就是说时间和空间实际上是没有什么区别的
它们两个很可能就是前面差了一个系数,c 或者再加一个系数单位 i
而时、 空紧密地联系在了一起,这就是闵氏空间
然后,闵氏空间和欧氏空间 其中一个几何表示就是这个时空图。
时空图的意思是这样的 这一个轴是 t 轴,表示时间,这边的轴是
x 轴,表示空间位置 但空间是三维的 x, y,
z,然后加上时间四维了,我们不可能画出来四维的东西 所以我们干脆只画一维
x,表示它的空间位置 然后这个图上一个点,例如这个
B 点就表示一个事件 就是说在 x2 位置下 t2
时间这一个事件 描述,在这个时空图上描述一个事件只需要用一个点就可以了
同理,在 A 点 就是 x1 位置
t1 时间这一个事件 但这个事件到底发生了什么无关紧要。
然后我们怎么看这个时空图 时空图这样看,首先这条曲线是它,叫世界线,就是一个物体
在一个时间范围内它是如何在时空图上演化的
我们把它向纵轴投影,会发现它的投影是一条直线
它的方向这样的,它投影下有这样子,这表示什么呢?时间是连续地均匀地变化的
然后它向横轴投影的话 投影下来,我们可以看到从 A 到
B,这一个点一直在这个位置 就说明这个物体吧,物体就在这一个点待着没有移动 然后从
B 到 C,它的投影是从这里到这里 就说明物体是从这个位置运动到了这边。
同时它的斜率 是一个固定的,因为它是一条直线。
那就是说它随,x 随时间变化是均匀的 就是说它是匀速直线运动。
然后从 C 到 D,变化不均匀,说明它不是匀速直线运动 但是它还回到了这一点,就是这样子走。
总的来说这物体是如何演化的,就是说 从 A 到 B 段它一直待在这个位置,然后向这边移动
然后再向这边移动,再回到这一个点。
这就是时空图 然后,下面就是说
刚才提到了一个很重要的概念,就是说內积问题
欧氏空间和闵氏空间,它们內积是怎么定义的?內积首先 最直接的应用,它代表距离。
就是说两个点之间的距离我们可以用內积表示 然后欧氏空间內积这样定义的,S 是它的距离 然后 x,
y, z 是三点的坐标,就是说假设这一点 距原点的距离,我们可以用它的坐标,x
方加 y 方加 z 方 再开一个根号就是这是多少距离 这是通常我们以前就很熟悉的几何上的表示
闵氏空间呢是这样定义的,说时空间隔是 t
方减去它这个空间的距离,这就是 x 方 加 y 方加 z
方,把这个看作一个整体的话 就是这是它的空间距离的平方,这是它的时间
这就是刚才所说的那个闵可夫斯基空间的四个坐标 这样我们定义啊它的距离。
首先 我们看一下,在这个时空图上,这距离有什么样的含义 首先先看这条线,OQ 线。
OQ 是这一个角平分线 角平分线意味着什么呢?意味着一个物体
或者说一个粒子,或者什么东西,它是以光速 从原点出发沿 x 轴方向运动的。
因为它在 x 的投影是 是一条直线,它的斜率是光速
c,这是 ct 就相当于一个光从原点发出,向 x 轴 发射。
这是它的角平分线 然后再根据狭义相对论,一切物体的速度都不可能超过光速
那么如果一个物体呢它想运动,从原点出发,那它只能在这条角平分线的靠近纵轴这一面
因为如果在靠近横轴这一面的话,它的速度就超过光速 所以说它可以这样,O
到 A' 是以这一个速度 沿 x 轴匀速直线运动。
但是它不可能到这一点 这就是时空图的一个物理意义
然后在这一半面,我们把这个事件,如果两个点 一个在
O 点,另外一个点在这一半面的话,我们把这两个事件间隔或者说这两个事件,我们叫做类时间隔
如果另外一个点在这边的话,一个点在 O 点,那我们把它叫做类空间隔
如果一个点在 OQ 线上一个点在原点的话,我们把这两个事件叫做类光间隔
在类光间隔上,这两个事件想要联系起来 就是说,事件
A 和事件 B 我想 A 向 B 传达信息,例如我可以发射一个信号到
B 想把它们联系起来的话,在类光间隔线上,发出来的信号一定要有光速 在类时间隔上,它们俩是可以联系的。
而在类空间隔上,它们是不可能联系的 因为它们两个想要从
O 点到达某一个点的话 它的速度必须超过光速,而这个在狭义相对论上是不被允许的。
所以说 类时间隔的两个事件可以联系。
联系代表什么? 联系就是代表因果关系。
有了 类时间隔是可以有因果关系的,而类空间隔两个事件是没有因果关系的 这是时空图。
然后最重要的一点,这里 说闵可夫斯基空间,是这一个式子。
我们看到这一个式子 在数学上表达它是什么,它的图像就是一个双曲线
所以说它的等间隔线就是双曲线 就是这样一个线。
也就是说到 O 点的距离在这条线上所有点都是相同的
在这一条线上所有点是相同的 而通常我们的欧氏空间,这个是一个圆或者说一个球
就是说在这个球面上所有点到原点的距离都是相同的 这东西是我们接受的直观的东西
而这个闵可夫斯基空间,距离的重新定义是一个
违反我们直观的,但这是非常重要的,在我们下面讲解
双生子佯谬的时候就是靠这个东西,所以大家要记住这个非常重要,就是 等间隔线是一个双曲线
然后下面从刚才那个非常重要的 结论我们得到一个有用的推论,这是我们下面直接需要的
就说欧氏空间既然是一个球啊,我们小学的时候就学过,两点之间线段最短
所以说,在某个确定两点之间,在 欧氏空间中,它们两个画一条线段,这是它们的最短距离
而颠覆我们直观的是,在闵氏空间中,两点之间线段最长 什么意思呢?就是说
O 点到 B 点 这有很多种路线,可以从 OB
直接到达,也可以 一个折线,也可以是各种各样的曲线。
而其中最长的路线是 OB 这是可以用很多方法证明的。
我们可以从几何直观上看 包括可以用变分法呀,等等等等,用拉格朗日方程都可以解
这里就不作证明了,下面我们就把它当做一个结论直接接受
就说两点之间,线段最长
然后以上准备工作就完了,我们就可以说一下双生子佯谬了
双生子佯谬是朗之万明确提出来的 就是在狭义相对论
1905 年建立之后,然后过了六年 然后有人提出,对狭义相对论提出了质疑。
下面我们的双生子佯谬是在狭义相对论框架下来理解 双生子佯谬的内容是这样的,就是说
有一对孪生兄弟,一个在地球上一个在飞船上 然后飞船就向另外一个星球飞。
在飞船起飞的时候他们两个人的年龄是一样大的,是孪生兄弟
然后这个飞船飞了一圈回到地球,然后飞船上的人我们设为叫 B 地球上的人我们叫 A。
B 跳下飞船和 A 又见面了 这时候他们两个人的年龄谁更大?
根据刚才的一个效应叫钟慢效应,也就是说 地球上 A 看飞船上的
B,因为飞船上有一个钟,地球上有一个钟 飞船上的钟是比地球上的钟走得慢的。
飞船绕了一圈回来 假设地球过了十年,地球上的钟走了十年
而地球上的人看飞船上的钟,认为它只走了八年,这时候 A 就认为
B 更年轻,因为他的钟变慢了 但相对论一个基本的原理,也是刚才提到的 运动会相对的。
也就是说,飞船,地球看飞船飞出去了又回来了 相对的,飞船怎么看呢?飞船上的 B
这么认为,认为地球向相反方向飞了一圈 又回来了,这时候他就会,同理他会认为 地球上 A 的时钟走得慢。
飞船上可能只过了一段时间,而地球上过了更少时间 所以 B 认为 A 应该更年轻的。
这是朗之万提出的双生子佯谬 到底他们两个谁更年轻呢?当然我们知道答案肯定是唯一的,解总是有的
所以,这个一定有答案。
难道是相对论矛盾了吗?相对论是不自洽的吗 然后爱因斯坦等人就提出来下面的一些论断
然后这一个是根据我们现代的观点,从时空、 从几何角度来解释的
就是说首先,我们刚才强调非常重要的 两点之间,线段最长。
就是说,这是地球 飞船的位置,地球和飞船开始在这一个点,原点
然后下面怎么走呢?我们从地球视角来看,地球一直不动 然后地球待在
x 轴原点没有动,然后随着时间流逝,它有这么一条线 然后到达了 p3
点,然后呢飞船呢,飞船是 转了一圈又回来了,这时候我们简化,就简化它匀速直线
转到另外一个它的目的地,然后突然掉头,匀速直线返回 就是说从 p1 点,到达 p2
点,再到达 p3 点 飞船走了这么一圈,然后我们怎么看呢?
首先两点之间线段最长,也就是说 p1p3 这条线段 要比这条折线长的。
也就是说地球上,A 的世界线 要比飞船上的世界线更长。
下面我们转化时间看 就是说 p1 点 x、
y、 z 都是 0 然后 p3 点,它 t 不再是 0
了,但它的 x 还是 0 我们也认为它的 y、 z 也不变,也是 0,就是说
p1 和 p3,x、 y、 z 都是 0 那它的间隔呢?s,s
就等于 c 乘 t,因为 x、 y、 z 是 0 嘛 然后那
t 就是 s 比 c,也就是说这两点之间
它们的时间就是 s 比 c,也就是说 s 越长,t 越长
我们再看这个图,地球刚好是这条线段,这条线段要比这条折线长 也就是说
sA,地球 iii 的世界线 要比 sB 更长,那么 tA
也比 tB 更长 也就是说地球上的人经历的时间,要比飞船上的人经历的时间更长
无论是从谁的观点看都是应该这个样子的,因为这个 s 是一个 洛伦兹不变量。
就是说无论在哪个参考系来看 s 都是一样的。
这样的话,我们就可以得出来结论了,就是说实际上
飞船上的人转了一圈回来,飞船上的人更年轻了,就是相对论 中双生子佯谬的一个解释:"A、
B 相逢,B 更年轻" 这一个几何解释。
这个解释稍微有一些偏数学
同时它也没有解释,为什么说刚才提到的一个相对论的非常非常重要的原理 是说运动是相对的。
A 看 B 飞出去了,B 可以 认为我自己是参考系,我看
A 飞出去了,为什么这两个不一样呢 难道相对论的最基本的原理,相对性原理错了吗? 实际上不是的。
下面我们会给出物理的解释 物理的解释,我们解释两个方面,第一个
就这个地方,同样 A 看 B 的钟慢了,B 看
A 的钟慢,为什么他们 结论却是 B
年轻呢? 我们首先这么认为:相对性原理
是一个基本原理,这个是一个基本假设 不容置疑。
然后就是说,A 看 B 和 B 看 A 是不是两个相等的,也就是说他们的权是不是等权的
或者说他们的地位是不是等地位的。
通常我们认为 没有一个,某一个参考系是
在惯性系中,没有一个惯性系是有独特参考地位的 但是惯性系和加速度的,也就是说非惯性系
它们之间是有一个不等的地位的,这就是说 A 和 B 实际上是不相等的。
然后 A 是在地球上,我们认为它是不动的 然后 B 是转了一圈回来的。
也就是说 A 是在惯性系上,而 B 是一个非惯性系 这样的话,它们就不等权了。
也就是说,B 哪怕我以自己为参考系,我看 A 转了一圈
而实际上,B 是非惯性系,它就是非惯性系
无论以谁、 哪一个角度来看,它的非惯性系这个性质是不会改变的
A 呢它是惯性系,它的惯性系性质也是不会改变的
所以说 A、 B 两个参考系实际上是不等权的
这也就是说为什么说,A、 B 它们不平等的,B
比 A 年轻了 第二个解释,我们就要解释一下,也有人会置疑说
既然 A 看 B 有一个加速度,那同样 B 看 A 也有一个加速度,它们是,难道不等的吗? 下面我们就给出这么一个解释。
说,就是这样子的 B 认为 A 有加速度,A 认为 B 也有加速度,为什么
B 更年轻 通常呢我们说的加速度是建立在牛顿力学上的,或者说伽利略给出的加速度
就是说 x、 y、 z 关于时间的二阶导数 dx
,dt,然后再dt 这么一个加速度,认为只有
x、 y、 z 三个分量 这个确实是等权的
也就是说在伽利略变换下,在牛顿的经典力学的情况下 这两个加速度,A 看
B 有加速度,B 看 A 有加速度,没有任何问题 在相对论性原理之下也承认这一点。
但是 刚才我们说了,在米氏空间四维情况下是不是这样子呢?四维情况下 加速度是有四个维度的。
这时候 它的四维加速度并不再是 A 和 B
是对等的了 四维加速度是一个绝对的,也就是说无论是在惯性系还是在非惯性系中
这个加速度都是一个绝对存在的 所以说我们不能把
A 和 B 它们两个等价 或者说不能把它们等权。
A 和 B, B 是有一个四维加速度的,这是确定的事实 然后 B
看到 A ,A 虽然也有维度,但它无论如何也不会有一个四维加速度 这就是说 A 和 B 是不等权的。
加速度,三维加速度是相对的 但四维加速度是绝对的,是与参考系和观察者等等都是没有关系的
这也就是说为什么说,它们两个都有加速度 或者说看对方都有加速度,而 B
更年轻 双生子佯谬到这里就基本上已经从物理,直观上来解释清楚,解释了
就是说总结一下,双生子佯谬的问题实质是这样的,说 相对性原理是可靠的,A
看 B 时钟变慢,B 看 A 也时钟变慢,为什么 一个更年轻?哪一个更年轻?它解答是
B 更年轻 为什么呢?是因为,实质是这里,加速度
并不是等权的,尤其,或者说我们这么说,说四维加速度并不是等权的 A 和
B 的四维加速度,有就是有,没有就是没有。
然后 更物理一些、 更抽象一些说,惯性系与非惯性系实际是不等权的
地球上的人是惯性系,他就是惯性系,飞船上的人他是非惯性系,就是非惯性系 所以这两个并不等价、
并不等权、 并不等地位 这也就是双生子佯谬,为什么 B 比 A 年轻的原因
这就是我要演讲的内容 这两本书是很不错的,介绍相对论的一些知识
谢谢大家