[ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА]
Сегодняшняя лекция
посвящена понятию «линейного пространства».
Мы обсудим, что такое линейное пространство, какими свойствами оно
обладает, какие из привычных нам множеств являются линейными пространствами,
а какие — не являются.
Самый первый пример линейного пространства — это векторы в двумерном
или в трехмерном пространстве.
Мы не определили линейное пространство, мы сначала рассмотрим этот пример, посмотрим
какие свойства векторов нам нужны, а потом определим понятие в общем случае.
Итак, что мы умеем делать с векторами?
Во-первых, мы умеем складывать векторы по правилу параллелограмма.
Это нам приходилось делать еще в школе на уроках физики и геометрии.
Во-вторых, любой вектор можно умножить на число.
Он от этого станет длиннее или короче, полученный вектор будет
сонаправлен с исходным вектором или направлен в другую сторону.
Также у каждого вектора есть обратный вектор.
Для каждого вектора v в векторном пространстве найдется вектор −v,
сумма этих векторов будет равна нулю.
Ноль — тоже важный элемент векторного пространства.
В векторном пространстве есть нулевой вектор,
прибавление которого не изменяет вектор.
Кроме того, умножение вектора на число и сложение векторов
связано обычным законом дистрибутивности.
Таким законом, который мы в начальной школе называли сочетательным законом.
Если мы умножаем сумму векторов на число a,
то каждый из векторов суммы умножится на число a.
Если мы умножаем вектор на сумму чисел, нам это все равно что взять
сумму произведения вектора на каждое из этих чисел.
Эти свойства мы и закрепим.
Мы рассмотрим все пространства,
которые обладают именно этими свойствами, и сделаем их законом.
Именно эти свойства мы введем в определение линейного пространства.
Для того чтобы определить линейное пространство,
давайте посмотрим подробнее на эти свойства — что именно имеется ввиду.
Во-первых, векторы можно складывать.
Что значит складывать?
Что значит операция сложения?
Чего мы ждем от операции сложения?
Мы можем — если мы говорим о формальных математических объектах — мы можем
определить сложение как угодно: варежка + шапка = шарф.
Только поможет ли нам это?
Поможет ли такое нелепое сложение доказывать какие-нибудь важные,
нужные теоремы?
Давайте посмотрим,
какие свойства сложения присущи векторному двумерному или трехмерному пространству.
Что значит: умножить вектор на число?
Как именно должны быть связаны умножение на число и сложение?
Какие правила выполняются формально, а какие...
про какие свойства векторного пространства мы можем забыть просто?
Например, нам не понадобится длина вектора.
Ну, в разных линейных пространствах мы думаем о длине как о...
иногда думаем о длине, иногда не думаем — длины бывают разные.
Это понятие длины не входит в определение векторного...
линейного пространства.
Итак, что нам нужно от сложения?
Во-первых, сложение векторов коммутативно.
Если мы посмотрим на параллелограмм,
мы складываем векторы по правилу параллелограмма, нам все равно,
в каком порядке выполнять действия: взять a + b или b + a.
Это выглядит очевидно.
Мы, действительно, мы с первого класса привыкли,
что от перестановки мест слагаемых значение суммы не меняется.
Однако каждому из нас в жизни встречаются такие операции,
которые не коммутативны между собой.
Хм! Например, выпить чашку кофе и лечь спать,
и лечь спать и выпить чашку кофе, это совершенно разные вещи.
Результат точно будет разным.
Итак, нам...
в линейном пространстве мы потребуем,
чтобы сложение обязательно было коммутативным.
Сложение векторов ассоциативно.
Это свойство в каком-то смысле более общее, чем коммутативность,
но выглядит немножко более сложно.
Все равно что к сумме векторов a и b прибавить вектор c,
или к вектору a прибавить сумму векторов b и c.
Я хочу обратить внимание, что мы здесь не обсуждаем коммутативность.
Нам не нужно переставлять между собой слагаемые.
Мы просто меняем скобки.
Мы к сумме прибавили вектор или к вектору прибавили сумму.
Свойство ассоциативности часто выполняется в самых нетривиальных ситуациях.
Ну, конечно, нам в жизни встречались ситуации,
где ассоциативность не выполняется.
Например, возведение в степень не ассоциативно.
Я не хочу рассказывать пример про возведение в степень.
Вы можете его сами посчитать или посмотреть материалы,
которые мы выложили для вас на сайте.
Существует нулевой вектор.
Это свойство является основополагающим.
Нам важно, чтобы нашелся вектор, прибавление которого не меняло сам вектор.
Верно ли это всегда?
Хм, пожалуйста — давайте посмотрим на множество чисел, больших двадцати.
Это замечательные числа, их прекрасно можно складывать, люди уже в первом классе
с этим хорошо справляются, но среди чисел больших двадцати нет нуля.
Мы не можем прибавить к какому-то числу число большее двадцати,
так чтобы результат не изменился.
В линейном пространстве, в векторном пространстве,
нам обязательно нужен нулевой вектор.
У каждого вектора существует обратный.
Для каждого вектора v мы можем взять вектор −v.
Это естественное свойство.
Мы привыкли со школы, решая уравнения, сокращать слагаемые с двух сторон,
прибавляя число a, часто можем добавить −a, и это слагаемое пропадет.
Всегда ли, в любом множестве ли, у каждого элемента есть обратный?
Конечно, нет.
Например, посмотрим на множество натуральных чисел.
Множество натуральных чисел — это тот числовой объект,
с которым мы сталкиваемся в самом начале изучения математики, только учась считать.
В множестве натуральных чисел нет обратного объекта.
Мы не можем прибавить к числу 3 натуральное число так, чтобы получилось 0.
Итак, существование обратного элемента, это тоже существенное ограничение.
Оно тоже накладывает ограничение на линейное...
на то множество, которое мы хотим определить, и мы потребуем,
чтобы у каждого вектора существовал обратный — для нас это важно.
[ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА] [ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА]
[ЗВУКОВАЯ_ЗАСТАВКА]