大家好，现在我要介绍绘制 多边形。今天课程重点包含了三角形，
已知三个边，如何画出一个三角形来。已知一个边如何绘制
一个正三角形来。接下来我要教偶数边的正多边形 如何画正方形，如何画正六边形，还有奇数边的
正多边形，然后如何画正五边形跟正七边形。
现在我要讲已知三边 来画出一个三角形来，左边我们可以看到有三个边长，
A,B,C三个边长，右边就是我们想画的三角形， 那这个好像大家在中学甚至小学的时候都有一点学过，
不过有时候印象不是很深刻。那我从这边开始教，
我希望大家能够唤醒这些小时候的记忆。步骤一，我们就是把A这条线拿出来，
然后以点2为圆心，那B的长度为半径来画弧， 先有A这条线放上来，
那用B的长度来当半径，那另外一个步骤就是
以点1为圆心，C的半径来画弧， 这点都是第二个步骤，再第三个步骤，
两个弧就会相交于第三个点， 也就是三角形其中的另外一个顶点，好，
那把它连在一起，ABC。就把1,2,3三个点连在一起，
那正好，比如一个边是A的长度，
这是我们原来的长，那一个边就是B的长度，因为我们用它的半径去取得 它的B的长度，另外一个边用C
这个半径来取得的点，所以这第三个点正好离1，3到1
是C的长度，3到2是B的长度，那这样我们的三角形有三个边要画一个三角形，
就可以画出来了。另外一个是要画正三角形。
正三角形我们给一个边叫做A， 这个长度，那它的端点是1到2，
我们想要画一个A=B=C三个
正三角形它三个边是一样长的，所以我们要可以利用支点法的
画弧技巧来绘制这个正三角形我们看下怎么做。跟刚才很类似的步骤，我们先把
A，就是A这条线先画上来， 1到2，好，这个两个端点，
那我们就1这个端点，然后用A的长度去画一个弧， 可以看到2到3，有没有，这一个弧来，
然后2这个端点从1到3画另外一个弧，
它们的半径都是R，R是什么呢？R就是A的长度。
所以这时候你就会得到第三个顶点。
把3跟1跟2连在一起，就成为一个三角形。
这个三角形是一个正三角形三个边的长度都是A的长度。
再来我讲怎么样画正方形。正方形。一样可以用 支点法，支点法很好用哦，就是代表我们用手做的圆规，
好，那我们知道AB的长度，那我们要能够画出正方形来，ABCD这样的一个正方形。
步骤1，是以A为圆心， 任何一个长度为半径，任意一个长度为半径，
利用支点法画一个弧， 让AB直线相交于1点，我们看到AB直线相交于1点。
可以吗？我们就是直接用A当作圆心，然后任意长度画一个半径，自然而然我们可以跟A- B这条线
相交，相交这个点就叫1点，1234的1.
同样的，以1点为圆心，这个R2为半径，
其实我们这个R2跟R1一样，只是用刚才那个半径为半径， 再画两圆的交点，就是第2点，
然后再用第2点为圆心， 然后R3为半径，其实R3也还是等于R1，
就是R2，就是我们任意的，一开始取的任意的半径。
那利用支点法画弧，我们又可以得到第3个点， 这个第3个点就根据我们第一个画的圆交的点，
就是第三个点，然后我们再用
3，第三个点为圆心，用R4其实就是原来的R，
为半径，然后利用支点法画弧哎我们就可以得到第四个点。
好，那把A
跟4，这个A跟4连接，你就会
得到一个垂直的线，垂直于AB的垂直线。
你就会得到垂直于AB的垂直线。好，你可以想下这个几何关键是什么，
任何一个半径，然后经过我们这样的这几个圆，
这四个圆的这种绘制，自然而然就可以得到垂直于A的一条垂直线。现在我们看到
第五个步骤，是分别以ABC为圆心，
用AB的长为半径， 支点法来画弧，找到点C跟D，
找到点C，也找到点D。所以四边形的
ABCD四个端点都找到了，那这其实就是我们的
正方形。正方形就是一个方形，四个边都是一样的。
现在我要介绍已知一个边长，如何画出正六边形，
我们已知边长，六边形的边长为AB这个直线在左边，给定一个线段AB，
如何画出右边的这样一个正六边形来？ 第一个步骤就是以A点为圆心，
AB的线段就是已知的一个这个六边形的边长，
为半径，R=AB的长度，那我们来 绘制一个圆。再来以B为圆心，
以B为圆心，画一个弧，这个弧跟刚才画的这个圆相交的地方叫做
第一个端点，就是顶点1，同样我们再用
1，用1这个端点当做圆心，同样再取同一个半径R，
也就是AB的长度R,得到 端点2，得到端点2跟这个圆相交的时候，
再用端点2当作圆心，好容易是半径R 画一个弧，得到端点3，
啊，端点3，那端点3再 当作圆心，得到端点4，端点5，
这时候把所有端点连在一起，就是正六边形。
所以这边你可以知道我们用到正六边形的一个几何的特性，
也就是说，它的边长是一样的，这当然。但是
它的边长跟这个正六边形的外切圆
外切圆，的半径是相同的。
为什么有这个特性呢？
其实我们很容易的把这个AB这条线还有1234的1这个端点
再把1连到A这边来，1连到A这边来变成一个正三角形，
你知道如果我们六边形我们把圆心，
六边形的外切圆的圆心跟它的端点这样接起来，你就会发现
任意一个六边形实际上是六个正三角形所组合的。
好，一个六边形其实是六个正三角形所组成的。
利用这个几何特性我们可以很快速的
画出正六边形。现在我要继续说明如何给定一个边长
绘制出一个正五边形。就是像左边有一个AB的线段，
已知这个AB的线段，得到右边的正五边形。
第二个步骤是以AB线段的B点， B端点为圆心，AB直线长为半径，
然后这个线段的长为半径，延伸AB
到跟圆，刚才画这个圆相交得到C点，
所以我们有ABC点了， 步骤二，分别与AB点跟C点为圆心，
以大于AB直线长为半径， 大于AB的线段的长度为半径，
画了两个圆，相交于D点，OK?
画了两个圆，相交于D点。
所以你其实可以知道，从B点跟D点连接以后， 其实BD一定垂直于AB。
这时候与圆相交的点叫做F点。
好，把它找出来，找出F点来。所以我们已经有C点跟F点，
在我们原来画的这个圆上面。再来，第三个步骤是以AB
为圆心，以大于二分之一AB的直线长为半径，
画两个圆。那两个圆会得到两个交点
两个交点，1，2两点。1，2两点。
把1，2两点连接起来，与AB直线相交于E点。
与AB直线相交于E点，
作为AB直线的两等分点，作为AB直线的两等分点。所以我们多了一个点叫做E点。
它就是AB直线的两等分点，再下一个步骤，步骤四，把AB两等分点
E为圆心，E为圆心 EF直径长为半径
EF,F就是刚才B点的那个垂直的点。
往上走的这个F点为半径 与AC
相交于G点， 往后越来越复杂了，现在做几次就习惯了。但是有点复杂，第一次我讲慢一点就跟着我做，
好，EF为半径，然后用跟AC点的交点
跟AC的交点为G点， 为G点，所以你就得到一个G。再下一个步骤
回过头来以A点为圆心，AG点直线长为半径画圆，
与E点垂直线即AF圆弧相交得到 两个点，I点跟H点。
与E点垂直线 即AF圆弧相交各得到了I点
跟H点。再下一个步骤是分别于A，I两个点
A，I两个点当作圆心 AB直线长为半径画圆。
两圆相交就会得到J点，
J点，有点复杂喽，待会给你讲，你就 比较有感觉，为什么我们要做那么复杂，J点，
把A,B,H,I,J五个点 连起来就是正五边形，就是正五边形。
好，这个很巧妙的几何作图，其实我在教工程图学的时候
我其实很喜欢讲这种有一点复杂度的这种几何作图。
好，我会觉得这会帮助同学思考，这个过去这些作图的这些技巧。
不知不觉你有时候在绘图的时候，很少很少我们需要 再用到这种几何作图来得到五边形，
可是我希望大家知道它里面有一些几何的关系，可以透过作图 可以透过几何的这种理解，你
可以更多地绘制出不一样的图形，做排列的组合。
最后我要介绍如何已知AB这样的一个线段，
可以绘制出右边正七边形来，正七边形来。
第一个步骤就是以A点为圆心， 以AB这样的线段为半径画一个圆。
AB的延长线会跟圆交界于C点。再来我们
把BC这样的一个弧，其实180度 等分成七份，等分成七份。
好，还记得我们之前讲过的等分角，三等分角，
同样的做法，你可以把它做成七等分角。
可以把它等分成七等分角。
我们就可以得到2，3，4，5，6，7。
那再下一个步骤就是连接A点跟各等分点
并延长之。所以你可以看到画面，我们把A点 跟2，A3,A4,A5,A6,A7
都可以把它画出来。再来是以点3跟B为圆心，
点3跟B为圆心， AB的直径长为半径开始画弧，交A4于G点，
交A4于G点，交A7于D点， 交A7于D点，同时取得F点
跟E点，就是你要用G去画
出得到F点，D去画得到了
E点，那连接A,B,D,E,F,G三个点，
就得到了正七边形。最后帮大家小结一下刚才所说的内容。
我们今天教授了三角形，已知三个边如何画出三角形来。
已经一个边长，如何画出正三角形来。
这个部分很多人大概 小学中学大概就学过了，让大家温故而知新。
再来我们介绍了偶数边的正多边形，当然一开始是
正四边形，最重要我们是绘制，利用到正四边形四个边都是垂直，
都是垂直的这样的一个几何特性，去绘制出正四边形来的。
再来我们也介绍了正六边形， 正六边形我们也用了一个正六边形的几何特性，
就是正六边形的外切圆的半径， 就是等于正六边形的六个边长。
好，外切圆半径等于边长这样的一个特性，画出了正六边形来。
再来我们也介绍了基数边的正多边形，正五边形跟正七边形。
好，那正五边形跟正七边形的步骤就非常的多而繁琐。
那教学的目的就是让大家了解 图学制图的精髓。那很多人在制图上
过去的人累积下来的经验，我们有很详细的步骤，按照这个步骤 就可以制出我们要的正五边形，正七边形。
那我相信今天这样的教学应该对大家 来讲，有非常多的新的这些了解。
那我希望大家能够多多地练习，多多了解它每一个作图的这个技巧。
康仕仲原臺灣大學土木工程學系教授 (Professor)
