[МУЗЫКА] Теперь вернёмся к предыдущей части нашей лекции,

а именно, к замене переменных в интегралах.

Что мы получили?

Мы получили, что если мы интегрируем функцию в евклидовских

координатах и перешли к произвольным координатам y один y n,

то интеграл выглядит следующим образом,

[БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] где J,

напоминаю, это якобиан,

он же детерминант якобиевской матрицы.

Так вот, то, что мы сейчас получили,

означает то, что эту замену переменных можно переписать по-другому.

[БЕЗ_ЗВУКА]

[СКРИП]

Ну и напомню то,

что x уже имеется ввиду выраженным через новые переменные y один y n.

То есть коэффициентом пересчёта в

мере объёма площади является

квадратный корень из детерминанты метрического тензора.

На самом деле, если немножечко подумать,

можно понять, что формула, записанная в таком вот виде,

применима к интегрированию и по кривым поверхностям.

Если мы знаем, как выглядит метрический тензор в координатах,

которые мы ввели на этой кривой поверхности,

тогда интегрирование по площади, скажем, нашей поверхности в функции,

заданной на этой поверхности, определено следующим образом.

Откуда это следует?

Давайте, самое простое представим себе, что наша поверхность

или гиперповерхность погружены в евклидовское пространство,

скажем, двумерная поверхность погружена в трёхмерное пространство.

Локально любая поверхность вблизи данной точки бесконечным овалом

является просто куском плоскости, обычной евклидовской плоскости.

И тогда эта формула приобретает совершенно прозрачный смысл.

Чтобы не писать самые общие формулы,

чтобы не писать всё время общие формулы, давайте рассмотрим пример

чуть более сложный, чем полярная координата, а именно,

рассмотрим сферические координаты в трёхмерном пространстве, как они задаются.

В трехмерном пространстве стартуем с наших евклидовских координат.

Это значит x один, x два,

x три, они же x, y, z.

Это евклидовские координаты, теперь введём сферические координаты.

Вот у нас точка, она задаётся расстоянием до центра,

углом с осью z или с осью x три, как у нас,

и углом проекции с осью x или с осью x один, как у нас.

Я намеренно не ввожу x, y, z в большую общность.

Из этой картинки следуют простые формулы пересчёта.

x три равняется r косинус θ.

x один будет r синус θ,

это длина проекции на плоскость x один x два,

и на косинус φ, это уже проекция на ось x один.

x два это будет r синус θ синус φ.

Ну теперь остаётся только вычислить метрический тензор,

и геометрия нашего пространства в

сферических координатах будет готова, вычисляем.

[СКРИП] Начнём

с исходного выражения и расписываем дифференциалы.

[СКРИП] dr

синус θ косинус φ плюс,

дифференциал уже идёт плюс.

Здесь немножко надо поработать, но ничего страшного.

Косинус θ косинус φ dθ плюс r

синус θ минус,

давайте здесь минус.

Зачеркну плюс, ставлю минус,

минус минус, зачеркиваю,

синус φ dφ

в квадрате плюс дифференциал x два

dr синус

θ синус φ

плюс r косинус

θ синус φ dθ плюс,

здесь уже плюс,

r синус θ косинус φ dφ в квадрате плюс.

Ну и аналогичное выражение,

происходящее от x два.

dr синус

θ синус

φ плюс

r косинус θ синус

φ dθ плюс, тут тоже плюс,

r синус θ

косинус φ dφ в квадрате плюс,

ну и окончательно dx три,

dr косинус θ минус

r синус θ dθ,

тоже всё в квадрате, равно.

Нужно раскрыть квадраты и всё собрать.

Давайте это делать как бы пристальным всматриванием.

Первое, нужно убедиться, что — я знаю ответ,

поэтому это и говорю — что все перекрёстные члены в этом квадрате,

в этом элементе длинные квадраты расстояния сокращаются перекрёстно,

то есть содержащие дифференциалы dr, dφ, dθ, dr,

dφ, dr, dθ, dφ, dθ.

Это легко проверить, давайте я это не буду делать.

Остаются только

квадраты dr, dφ и dθ.

И коэффициенты при этих квадратах мы сейчас соберём.

Давайте вот здесь я, значит, соберу.

Смотрите, dr в квадрате, какой коэффициент будет при нём?

Синус в квадрате θ косинус в квадрате φ синус в квадрате

θ синус в квадрате φ косинус в квадрате плюс синус в квадрате даст единицу,

то есть из этих двух слагаемых будет dr в квадрате синус

в квадрате θ плюс dr в квадрате косинус в квадрате θ.

Итого, получаем просто dr в квадрате

плюс три d θ в

квадрате r в квадрате

косинус в квадрате θ косинус в квадрате φ r в квадрате

косинус в квадрате θ синус в квадрате φ.

Косинус в квадрате φ плюс синус в квадрате φ даст единицу и будет из этих

двух слагаемых r в квадрате косинус в квадрате θ dθ в квадрате,

а здесь r в квадрате синус в квадрате θ dθ в квадрате,

синус в квадрате плюс косинус в квадрате — единица.

Итого, будет плюс r в квадрате dθ в квадрате плюс, вот теперь от dφ.

Здесь до конца

углы не пропадут, но ничего не страшного.

r в квадрате синус в квадрате θ косинус в квадрате φ плюс

r в квадрате синус в квадрате θ косинус в квадрате φ.

Синус в квадрате остаётся, то есть будет плюс r в квадрате,

синус в квадрате θ dφ в квадрате.

Так вот получился наш метрический тензор.

Точнее, пока ещё не метрический тензор,

а квадрат бесконечно малого расстояния.

Сферические координаты

Введение в математические методы физики

Conheça os instrutores