[МУЗЫКА] В последней

части нашей лекции мы рассмотрим несколько примеров

приближённого вычисления рядов на этот раз, а не интегралов.

Начнём собственно с тривиального,

не требующего приближения ряда S

один от q сумма n от нуля до

бесконечности q в степени n.

Это, разумеется, простая геометрическая прогрессия,

равная один поделить на один минус q.

Это сходящаяся при q меньше единицы.

Теперь следующий,

чуть более сложный ряд.

S два от q равняется сумме

n от нуля до бесконечности

n помножить на q в степени n.

Как легко увидить,

каждый член нового

ряда получается путём дифференцирования

соответствующего члена нашего первого ряда по q.

Поэтому мы можем записать

равенство S два от q

есть производное от ds один по dq,

продифференцировать это выражение и получить

ответ один минус q в квадрате

в знаменателе.

А вот следующий, третий пример мы рассмотрим такой.

S три от q равно сумме

по n от нуля до бесконечности

логарифм от n

[БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА]

плюс один,

под логарифмом n плюс один, на

q в степени n.

Для такого ряда

уже простого трюка наподобие правительного для S два

от q не получается,

но этот ряд можно довольно легко

вычислить в наиболее интересном случае,

когда [БЕЗ_ЗВУКА] q близко

к единице, но меньше единицы.

То есть q равно один минус ε,

а ε при этом маленькое.

В этом случае,

как можно убедиться на примере,

скажем, рассмотренного перед этим исходного ряда,

главный вклад в эту сумму происходит от членов

этого ряда с большими номерами n,

то есть с номерами нам

нужны n порядка

единицы на ε.

В таком случае,

причём, ещё надо заметить,

что когда q близко к единице, то, например,

q в степени n примерно равно q

в степени n плюс один при условии,

что единица минус q — малое число.

Потому что чем они собственно отличаются?

Они отличаются, их отношение — это как раз q, которое близко к единице.

То есть

последовательные члены этого

ряда относительно мало отличаются друг от друга.

В этой связи вычисление этого ряда можно с

хорошей точностью заменить на вычисление интеграла.

Интеграл будет такой: от нуля

до бесконечности логарифм x

плюс один q в

степени x dx.

В свою очередь, этот интеграл мы

перепишем в

виде логарифм

x плюс один e в степени

минус x логарифм

единица на q dx,

то это тождественное преобразование.

Логарифм единицы на q,

когда q удовлетворяет этому условию,

это просто ε, поэтому мы получаем

здесь интеграл логарифм x плюс

один e в степени минус

εx dx.

Этот интеграл содержит относительно быструю функцию-экспоненту,

сходящуюся при x порядка один на ε,

и медленно меняющийся логарифмический множитель.

Поэтому отсюда уже понятно, что результат

интегрирования будет [БЕЗ_ЗВУКА]

единица на

ε и логарифм от

единицы на ε плюс один.

[БЕЗ_ЗВУКА] На этом мы

исчерпали наши сегодняшние примеры.

[МУЗЫКА]

Приближенное вычисление рядов

Введение в математические методы физики

Conheça os instrutores