Alors, avant de définir la transformation de Fourier

sur les distributions tempérées, opération qui va se faire par un procédé de

dualité, ou procédé de transposition comme la plupart des opérations

que nous avons déjà définies sur les distributions au cours numéro 2.

Eh bien, avant de faire

ça, nous allons rappeler les principales propriétés de la transformation

de Fourier sur les fonctions, et pas sur n'importe quelles fonctions.

On va regarder la transformation de Fourier sur la classe

de Schwartz, et comme on va le voir sur la

classe de Schwartz, la transformation de Fourier est définie de

manière très simple, et ses propriétés sont particulièrement simples à établir.

Donc, je commence par rappeler la définition de la transformation

de Fourier classique pour des fonctions de R N, et je

vais m'intéresser particulièrement au cas de fonctions de la classe de Schwartz.

Définition.

À toute fonction phi de la classe de Schwartz sur R N, j'associe sa

transformée de Fourier, qui est définie de la manière suivante.

Pour tout point ksi dans R N, je définis F rond phi de ksi comme étant l'intégrale

sur R N de exponentielle de moins i ksi scalaire x, phi

de x, dx. Évidemment, comme phi est dans la classe

de Schwartz, c'est une fonction qui est intégrable sur R N.

Je la multiplie par la fonction de module 1, exponentielle de moins

i ksi scalaire x, et j'obtiens évidemment, comme cela, une intégrale qui

est bien définie au sens de Lebesgue, une intégrale

absolument convergente qui définit la fonction F phi de ksi.

On va commencer par regarder un exemple fondamental de

calcul de transformée de Fourier, dans le cas de la classe de

Schwartz, qui est celui de la transformée de Fourier des fonctions gaussiennes.

Alors, c'est un exemple fondamental, parce qu'évidemment,

il intervient dans le calcul des probabilités.

Et on va voir, d'ailleurs, dans un instant,

qu'il intervient pour établir, enfin, c'est l'un des moyens,

par lequel on peut établir le théorème d'inversion de

la transformation de Fourier, dans la classe de Schwartz.

N'anticipons pas. Donc, si je prends une matrice

à coefficient réel, matrice symétrique, donc, A égal à A transposé.

Et je vais supposer que cette matrice est définie positive.

Autrement dit, cette matrice symétrique réelle,

je peux la diagonaliser en base orthonormée.

Et dire que cette matrice est définie positive, c'est dire que

toutes ses valeurs propres sont des réelles strictement positives.

Une autre façon de dire ça, bien sûr, c'est de dire que la forme bilinéaire

sur R N qui est associée à la

matrice symétrique grand A est un produit scalaire.

C'est une forme bilinéaire définie positive sur R N.

Bien.

Donc, sous l'hypothèse que A est une matrice symétrique définie

positive, je considère la fonction G indice grand A de X,

qui est définie comme étant l'exponentielle de moins un demi

A moins 1, inverse de A, A moins 1 de x, scalaire x, divisée

par racine carrée de 2 pi puissance N fois le déterminant de grand A.

Évidemment, comme la matrice A est définie positive, son déterminant

est un nombre strictement positif, donc, les nombres qui apparaissent

sous la racine carrée sont bien des nombres strictement positifs.

Cette fonction est évidemment, dans la classe de Schwartz sur R N, puisque,

comme la matrice A est définie positive, eh bien, A

moins 1 de x, scalaire x, c'est supérieur ou égal à

un certain nombre positif, disons alpha, fois norme de x au carré.

On a

bien la décroissance gaussienne à l'infini qu'on a vue dans la partie précédente.

Bien.

Alors, avec cette formule, eh bien, on a la formule

remarquable suivante, sur la transformée de Fourier des gaussiennes,

qui dit que lorsque je calcule la transformée de

Fourier de la fonction G indice grand A de ksi,

eh bien, ce que j'obtiens, c'est exponentielle de moins un demi A de ksi,

scalaire ksi. Autrement dit, c'est

la même chose que la gaussienne associée à

la matrice A moins 1 évaluée au point ksi,

et multipliée par le préfacteur racine de 2 pi N fois déterminant

de A moins 1. Bien.

Autrement dit, si je prends une distribution gaussienne dans le langage du

calcul des probabilités, la matrice A serait sa matrice de covariance.

Et ce qui se passe quand on calcule la transformée de Fourier de la gaussienne

G A, eh bien, c'est tout simplement

la transformée de Fourier consiste à obtenir la

gaussienne où on a échangé A avec A moins 1, et on a supprimé le préfacteur avec les

racines de 2 pi N et le déterminant de A. Bien.

Alors, voyons quelques propriétés de la transformation

de Fourier après cet exemple, sur lequel on va revenir dans un instant.

Alors, la propriété élémentaire

de la transformation de Fourier, c'est que,

comme on l'a dit, la transformation de

Fourier est une opération qui est particulièrement

agréable, qui se mélange agréablement à la dérivation.

En effet, pour tout phi, fonction de la classe

de Schwartz sur R N, la transformée de Fourier

de phi est une fonction de classe C 1 sur R N, et pour tout ksi dans R N,

eh bien, on a la formule qui dit que d rond ksi k de F phi, c'est

la transformée de Fourier de moins i x k phi, moins i

phi multiplié par la fonction x k, qui est polynomiale de degré 1, donc, elle

est polynomiale, et croissance polynomiale ainsi que

toutes ses dérivées, et puis c'est un polynôme.

Donc, x k phi est encore dans la classe

de Schwartz. Et de la même manière, la transformée

de Fourier de d rond phi sur d rond x k est égale

à i ksi k, Fourier de phi. Autrement dit,

la transformation de Fourier F, sur la classe de Schwartz,

échange la dérivation et la multiplication

par plus ou moins i x, ou plus ou moins i ksi, suivant que on

fait la dérivation avant ou après la transformation de Fourier.

Deuxième propriété, qui est une conséquence de

la première, c'est que évidemment, dans cette

propriété, on vient de dire que Fourier de phi est une fonction de classe

C 1.

Et puis, on voit que la dérivée de Fourier de phi, c'est

Fourier de moins i x k phi, qui est encore une fonction de la classe de Schwartz.

Et donc, par conséquent, i ksi k, F de phi sera dans C 1.

Et donc, par récurrence, comme F échange dérivation et multiplication par plus

ou moins i x, ou plus ou moins i ksi, eh bien,

la transformation de Fourier va échanger la régularité de la

fonction, avec la décroissance de la transformée de Fourier à l'infini.

Et vice versa, va échanger la décroissance de la

fonction pour de la régularité de sa transformée de Fourier.

Et donc, puisqu'une fonction de la classe de Schwartz,

elle est à décroissance rapide, et toutes ses dérivées

sont à décroissance rapide, eh bien, la transformée

de Fourier envoie la classe de Schwartz dans elle-même.

Fourier de S de R N est inclus dans S de R N.

On ira un petit peu plus loin dans un instant.

Mais pour l'instant, c'est important de savoir que

la transformation de Fourier stabilise la classe de Schwartz.

Dernière propriété, qui est très proche de ce qui se

passe pour la dérivation, la façon dont la transformation

de Fourier se mélange avec les translations sur R N.

Donc, pour tout phi dans la classe de Schwartz de R N, pour

tout vecteur ksi et petit a appartenant à R N, eh bien, si

je regarde la transformée de Fourier de phi de x moins a, vue

comme fonction de x, et que je la calcule au point ksi, ce que

j'obtiens c'est e puissance moins i a scalaire

ksi, transformée de Fourier de phi au point ksi.

De la même manière, transformée de Fourier de e puissance

i a x que multiplie phi, évaluée au point ksi,

sera égale à la transformée de Fourier en ksi moins petit a.

Autrement dit, la transformation de Fourier échange

translation et multiplication par e puissance i

a x, ou e puissance i a scalaire ksi, suivant

qu'on fait la translation avant, ou après la transformation de Fourier.

Bien.

Alors, maintenant, avec ces propriétés de la transformée de

Fourier, qui sont des propriétés presque immédiates,

la première propriété sur Fourier, la dérivation s'obtient

soit par intégration par parties, soit par

dérivation sous le signe somme, propriété bien connue.

Eh bien, avec ces propriétés, en particulier

avec la première d'entre elles, on peut

revenir sur le premier exemple de calcul de transformation de Fourier que je vous

ai montré, qui est le cas des gaussiennes.

Et je vais montrer comment on effectue le calcul de la

transformée de Fourier des gaussiennes, en dimension 1, presque sans calcul.

En effet, donc, si je suis en dimension

1, une matrice symétrique définie positive en dimension 1,

eh bien, c'est un nombre petit a, nombre réel

strictement positif, et donc, comme en dimension 1 quelconque,

je pose grand G indice petit a de x, égal 1

sur racine de 2 pi a, exponentielle de moins x au carré

sur 2 a, et un calcul élémentaire montre que l'intégrale sur la

droite réelle de G a de x dx est égale à 1.

Autrement dit, formule bien connue, G a de x est une densité de probabilité sur R.

Bien.

Alors maintenant, j'observe que la fonction G

a, elle est évidemment de classe C infini, et elle vérifie l'équation différentielle

suivante, a, que multiplie G prime a de x, est

égal à moins x, G indice a de x. Appliquons la

transformation de Fourier sur la classe de Schwartz aux deux membres

de cette égalité.

Évidemment, chaque fonction, dans chaque membre de cette égalité

est bien dans la classe de Schwartz, parce que la

classe de Schwartz est stable par dérivation, par exemple,

ou par multiplication par les polynômes, comme on le voudra.

Bien, donc, si j'applique la transformée de Fourier aux membres de

gauche de l'égalité, eh bien, je vois que petit a fois

Fourier de G prime a au point ksi, puisque Fourier échange

dérivation et multiplication par i ksi, eh bien, ça,

c'est égal à i a ksi, Fourier de G indice a au point ksi.

Évidemment, c'est égal à Fourier de moins x G indice a calculé au point ksi.

Mais Fourier de moins x G indice a,

multiplication par i près, c'est la dérivée de Fourier.

Donc, ceci est égal à moins i, Fourier de G a prime, calculé au point ksi.

Bien.

Donc, on trouve que la transformée de Fourier

F de G a vérifie une équation différentielle

tout à fait analogue à celle que vérifiait G a, une fois qu'on a divisé par i,

à cela près que le a a changé d'endroit. Il est maintenant,

il multiplie la transformée de Fourier

de G a, au lieu qu'auparavant, il multipliait G prime a.

Donc, cette équation différentielle, on en cherche les solutions,

et c'est pas très surprenant puisqu'elle est très analogue à

ce qui se passe pour G a, de voir que de cette équation différentielle,

on tire le fait que Fourier de G a est forcément une

fonction proportionnelle à G de 1 sur a, G indice

1 sur a. Autrement dit, Fourier de G a, c'est une

certaine constante C, G indice 1 sur a. Bien, Alors, il n'y a plus qu'à identifier

la constante C.

Mais pour identifier la constante C, je calcule la transformée de Fourier de G a

en zéro, transformée de Fourier d'une fonction en

zéro, c'est son intégrale sur la droite réelle.

Et donc, Fourier de G a en zéro, c'est l'intégrale

de G a sur la droite réelle, c'est égal à 1.

Bon. Mais d'autre part, ça doit être

égal à C divisé par racine carré de 2 pi a moins 1,

en calculant ce que vaut G indice 1 sur a de zéro.

Et avec ça, eh bien, je trouve que C est égal

à racine de 2 pi a moins 1, ce qui démontre bien

la formule que j'avais annoncée sur le calcul de la

transformation de Fourier des gaussiennes, dans le cas particulier de la dimension 1.

Alors, en dimensions supérieures, il faut prendre la matrice symétrique

définie positive grand A, la diagonaliser en base orthonormée,

faire un changement de variable qui s'opère par une matrice

orthogonale, et dans une base de diagonalisation, on se ramène

au calcul en dimension 1 que je viens de montrer.

C'est un calcul qui se fait sans, presque sans calcul, si j'ose dire.

Bien. Donc,

maintenant, venons-en au, peut-être au point crucial sur

la transformation de Fourier, qui est la formule d'inversion.

Alors, on a vu que la transformation de Fourier grand F, envoie la classe

de Schwartz dans elle-même, où S de R N, dans S de R N.

Mais en fait, ce qui est important, c'est de voir qu'en

réalité, on a beaucoup plus, à savoir que cette transformation de Fourier, c'est un

isomorphisme de S de R N dans lui-même, isormorphisme qui est d'ailleurs continu,

et d'inverse continu, continu pour la topologie de S de R N, d'inverse continu.

Et l'inverse est donné par la formule très simple que Fourier moins 1 d'une

fonction psi calculée au point x, c'est 1 sur 2 pi puissance N,

l'intégrale, lorsque ksi varie dans RN de e puissance

i x scalaire ksi, psi de ksi, d ksi.

Autrement dit, Fourier moins 1 de psi au point x, c'est 1 sur 2 pi

à la puissance N, dimension de l'espace, Fourier de psi évaluée au point moins x.

Une autre façon encore de dire ça, c'est que

lorsque j'itère deux fois la transformée de Fourier, Fourier de Fourier de phi

est égale à 2 pi puissance N, phi composé avec moins l'identité de R N.

Bien.

Alors maintenant, voyons comment cette formule d'inversion de

Fourier s'interprète par un calcul formel. Donc, si je

calcule Fourier moins 1 de Fourier phi de x, d'après la formule

ci-dessus, ça vaut 1 sur 2 pi puissance N, intégrale sur R

N de e puissance i x scalaire ksi, intégrale sur R N

de e puissance moins i ksi scalaire y phi de y d y.

L'intégrale interne valant transformée de Fourier de

phi calculée au point ksi d ksi.

Maintenant, j'intervertis l'ordre d'intégration, et

je vois que sous réserve que j'ai le droit de faire ça, c'est égal à 1 sur 2 pi à la

puissance N, intégrale sur R N, de l'intégrale sur R N de exponentielle

de i x moins y scalaire ksi, d ksi, phi de y, d y.

Et donc, puisque ça doit représenter Fourier

moins 1 de Fourier phi de x, ça, ça doit être égal à phi de x.

Or, lorsque je regarde l'intégrale interne qui apparaît dans cette formule,

j'ai envie de dire que Fourier moins 1 de Fourier phi de

x, s'interprète comme le produit de convolution de phi par la fonction, entre

guillemets, ou la distribution, 1 sur 2 pi puissance N,

intégrale sur R N de exponentielle de i z scalaire ksi d

ksi. Et donc, si je savais dire que cette

intégrale est égale à la masse de Dirac en zéro,

eh bien, j'obtiendrais que Fourier moins 1 de Fourier phi au point

x, c'est phi convolé avec la masse de Dirac en zéro, le tout

calculé au point x.

Mais comme je sais que la masse de Dirac en zéro est l'élément

neutre pour le produit de convolution, on

démontrerait ainsi la formule d'inversion de Fourier.

Malheureusement, ce calcul n'est que formel, et on ne

peut pas vraiment démontrer la formule d'inversion de Fourier comme

ça, parce que l'intégrale sur R N de e puissance

i z scalaire ksi d ksi, ça n'a aucun sens.

Cette intégrale

ne converge pas.

On est en train d'intégrer un nombre qui est de module 1.

Donc, la fonction e puissance i z scalaire ksi n'est pas un élément de L1.

Cette intégrale n'existe pas comme intégrale de Lebesgue.

Bien.

Alors, ce nonobstant, le théorème d'inversion de Fourier, lui, il est quand

même vrai, et je vais évoquer brièvement comment on le démontre.

Alors l'idée, bien sûr, ça va être que dans

la formule qui doit représenter la masse de Dirac en

zéro au point z, si j'ose dire, on a envie

de remplacer 1 sur 2 pi, on est en dimension

1, donc, grand N égal à 1 sur 2 pi,

l'intégrale sur la droite réelle de e puissance i z

sur ksi d ksi, eh bien, on va le remplacer

par 1 sur 2 pi, exponentielle de moins un demi

de epsilon ksi carré, plus i z ksi d ksi.

Autrement dit, j'ai multiplié l'exponentielle oscillante de

i z ksi par un préfacteur gaussien, exponentielle de moins un demi de epsilon

ksi carré, avec un petit nombre positif epsilon, qui a

vocation à tendre vers zéro à la fin de la démonstration.

Bien.

Mais maintenant, lorsque je regarde cette intégrale, la nouvelle intégrale,

avec le préfacteur gaussien, elle, elle converge bien.

C'est bien une intégrale de Lebesgue, parce que lorsque je

prends le module de l'intégrande, eh bien, je trouve l'exponentielle

de moins un demi de epsilon ksi carré, et ça,

c'est une fonction qui est dans L1, sur la droite réelle.

Et évidemment, lorsque je me reporte à la

notation pour les fonctions gaussiennes, il est immédiat

de vérifier que 1 sur 2 pi, intégrale de e puissance moins un demi de epsilon ksi

carré plus i z ksi, d ksi, ça, ça n'est rien d'autre que la transformée

de Fourier de la gaussienne de paramètre 1 sur

epsilon divisée par racine de 2 pi epsilon.

Or ça, d'après la formule qu'on a

démontrée sur la transformée de Fourier des

gaussiennes, eh bien ça, c'est égal à G epsilon de z.

On a la transformée de Fourier, consiste, dans la gaussienne,

à changer le paramètre, la matrice de covariance, en son inverse.

Donc, c'est pour ça qu'ici, on passe de G 1 sur epsilon, à G epsilon.

Bon, et puis, il y a le préfacteur racine de 2 pi epsilon qui est comme il faut.

Bien.

Donc, on a cette nouvelle

formule 1 sur 2 pi, intégrale sur R

de exponentielle de moins un demi de epsilon ksi

carré plus i z ksi d ksi, égal à G epsilon de z, et cette formule va

rendre le même service que la formule formelle non démontrée qui dit que

1 sur 2 pi, intégrale de e puissance i z ksi, d ksi est égale à Dirac en zéro de z.

Cette nouvelle formule qui, elle, fait intervenir la

régularisation gaussienne, elle, elle a le mérite d'être vraie.

Bien.

Alors, maintenant, on reprend le calcul formel du, menant à la

démonstration du théorème d'inversion de Fourier, mais en remplaçant cette

intégrale qui n'existe pas, sur 2 pi, intégrale de e puissance

i z ksi d ksi, par l'intégrale avec le préfacteur gaussien,

qui elle, a bien un sens.

Et donc, on trouve que 1 sur 2 pi, intégrale

sur R de exponentielle de moins un demi de epsilon ksi

carré, plus i x ksi, Fourier phi de ksi, d ksi,

eh bien, je remplace Fourier phi de ksi par sa valeur.

C'est 1 sur 2 pi, et intégrale sur R, de l'exponentielle de

moins un demi de epsilon ksi carré, plus i x ksi, fois intégrale

sur R de exponentielle de moins i xi y, phi de y,

d y, d ksi. Et maintenant, j'ai parfaitement le droit

d'échanger l'ordre des dérivations, puisque la fonction de

ksi y qui à ksi y associe exponentielle de

moins un demi de epsilon ksi carré, plus i x moins y ksi,

phi de y.

Quand je prends son module, eh bien, je trouve exponentielle de moins

un demi de epsilon ksi carré fois module de phi de y.

Comme phi est à décroissance rapide, de l'autre côté, en ksi, j'ai la décroissance

gaussienne du préfacteur exponentielle de moins un demi epsilon ksi carré.

Donc, j'ai le droit d'appliquer le théorème de Fubini, et

lorsque j'intervertis l'ordre des intégrations, je vois que je trouve

l'intégrale sur R de G epsilon de x moins y phi de y, d y, en

commençant, évidemment, par intégrer en ksi, et en

utilisant la formule ci-dessus pour G epsilon de z.

Bien.

Alors, à partir de là, on va passer à la limite,

lorsque epsilon tend vers zéro, dans les deux membres de cette égalité.

Alors, d'abord, comme la transformée de Fourier de

phi est dans L1, eh bien, par convergence

dominée, pour tout x dans R, 1 sur 2 pi, l'intégrale sur R de

exponentielle de moins un demi de epsilon ksi carré, plus i x ksi, Fourier

phi de ksi, d ksi, ça, ça converge vers 1 sur 2 pi, l'intégrale

sur R de exponentielle de i x ksi, Fourier phi de ksi, d ksi.

Bien.

D'autre part, je fais le changement de variables, où

je vais poser y égale x moins racine de

epsilon fois z. Et avec ça, je trouve très simplement que

l'intégrale sur R de G epsilon, de x moins y, phi de y, d y est égale à l'intégrale

sur R de G indice 1 de z, phi de x moins racine de epsilon z, d z.

Exercice élémentaire de changement de variables.

Bon, maintenant, j'applique le théorème de convergence dominée.

Je vois

que phi de x moins racine de epsilon z, pour

tout z, ça converge vers phi de x lorsque epsilon

tend vers zéro, parce que phi est une fonction continue,

même mieux que ça, elle est dans la classe de Schwartz.

Et d'autre part, cette fonction phi, elle est bornée.

Donc, phi fois G 1 est majorée en valeur absolue, ou en module, par une constante

fois G 1 qui a la décroissance gaussienne,

et qui est donc une fonction intégrable sur

R, et donc, par convergence dominée, l'intégrale de

G 1 de z phi de x moins racine

de epsilon z, d z, converge vers phi de x fois l'intégrale de G 1 de z, d

z, mais on sait que l'intégrale de, d'une fonction gaussienne, comme G 1, ça vaut 1.

Donc, phi de x fois l'intégrale vaut phi de x, lorsque epsilon tend

vers zéro. Bien.

Eh bien, en résumé, on trouve que phi de x, c'est la limite quand epsilon tend vers

zéro, de l'intégrale sur R, de G epsilon de x moins y, phi de y, d y.

Mais c'est aussi la limite, quand epsilon tend vers zéro, de 1 sur 2 pi intégrale

sur R de exponentielle de moins un demi de epsilon ksi carré, plus i x ksi,

Fourier phi de ksi, d ksi, chose qui est égale à 1 sur

2 pi, intégrale sur R de exponentielle de i x ksi, Fourier phi de ksi, d ksi.

Ce qui est la formule d'inversion cherchée en dimension 1.

La démonstration, en dimension grand N est exactement

analogue, et il n'y a pas de modification notable,

une fois qu'on a compris le calcul de

transformée de Fourier des gaussiennes en dimension grand N.

Deuxième formule particulièrement importante de la

théorie de Fourier, c'est la formule de Plancherel, parce que

cette formule, elle intervient, par exemple, en mécanique quantique

pour le calcul de l'énergie d'une particule

quantique, ou pour le calcul de sa probabilité de présence.

Formule également très importante en

mathématiques, puisqu'on s'en sert pour étendre

la transformation de Fourier de S de R N en une

application qui, à un coefficient près, est une application,

est une application linéaire unitaire sur l'espace de Hilbert L2 de R N.

Bien.

Je vais énoncer la formule de Plancherel dans le cadre de la classe de Schwartz.

Et comme on va voir,

dans la classe de Schwartz, la formule de Plancherel est particulièrement

simple, simple à démontrer, c'est la même formule, évidemment, que dans L2.

Mais elle est très simple à démontrer, dans le cas de la classe de Schwartz.

Elle s'énonce de la manière suivante : pour tout phi et psi

dans la classe de Schwartz sur R N, eh bien, si je

calcule le produit scalaire dans L2 de R N de Fourier phi,

par Fourier psi, je trouve 2 pi puissance N, le produit scalaire

dans L2 de R N de phi par psi. Autrement dit, au sens du produit

scalaire L2, la transformation de Fourier est au

coefficient 2 pi puissance N près, une application

unitaire, transformation linéaire unitaire qui

préserve, à ce facteur 2 pi puissance N près, le produit scalaire

de L2 de R N.

Alors, voyons la démonstration qui, une fois qu'on a le

théorème d'inversion dans S de R N est presque immédiate.

Alors, on commence par établir la formule suivante : pour tout phi

et khi, fonction de la classe de Schwartz sur R N, eh

bien, si je calcule le produit scalaire L2 Fourier phi

scalaire khi, eh bien, ça, c'est égal à l'intégrale sur R N de khi

de x fois la conjuguée de Fourier phi.

Calculée au point x, mais la conjuguée de Fourier phi calculée au point x,

c'est l'intégrale sur R N de e puissance i x scalaire y, phi

de y barre, d y, chose que j'intègre ensuite d x.

Bien.

Et donc, eh bien maintenant, j'intervertis l'ordre d'intégration.

J'ai bien le droit de faire ça, parce que à part

le facteur exponentiel qui est de module 1, comme phi et khi

sont dans la classe de Schwartz, le produit khi de x, phi

barre de y, il est dans L1 des deux variables x, y.

Et donc, j'ai bien le droit d'appliquer

le théorème de Fubini pour intervertir l'ordre

d'intégration, et je trouve que cette intégrale

double est égale à l'intégrale, où j'intègre d'abord

en y, de phi barre de y, intégrale sur R N de exponentielle de i x scalaire y khi

de x, d x, le tout intégré, donc, en y. Bien.

Maintenant, si je lis ce qu'est l'intégrale

interne, eh bien, je vois que, bien sûr,

j'ai le produit scalaire L2 de phi, contre

l'intégrale interne qui vaut Fourier khi, mais composée

avec moins l'identité de R N. Produit scalaire L2.

Bon, à partir de là, j'applique le théorème d'inversion de Fourier, et la

formule de Plancherel devient immédiate En effet, Fourier phi, scalaire Fourier psi

dans L 2, j'applique la formule que je viens de démontrer, en prenant

Fourier psi égal à khi, et donc, ça, ça vaut phi, produit scalaire

L 2 avec Fourier de Fourier psi, le tout composé avec moins l'identité.

Mais Fourier de Fourier psi, je sais que c'est psi composé avec

moins l'identité, et donc, Fourier de Fourier psi composé avec moins

l'identité, c'est psi que multiplie, évidemment, le facteur 2 pi puissance N.

Ce qui démontre la formule de Plancherel. Alors, on a fait un petit peu le tour

des propriétés de la transformation de Fourier sur les fonctions,

en tout cas, sur les fonctions de la classe de Schwartz.

Passons en revue les avantages et les inconvénients de

cette théorie de Fourier sur la classe de Schwartz.

Alors, d'abord, évidemment, l'avantage de la classe de

Schwartz pour y étudier la transformation de Fourier

c'est que c'est un cadre extrêmement commode :

toutes les formules de la théorie de Fourier y

sont très faciles à établir.

Il n’y a pas de manipulation, d'analyse fonctionnelle

un petit peu subtile comme quand on essaie de

définir la transformation de Fourier par prolongement à L

2 de R N, la transformation de Fourier Plancherel.

D'autre part, autre avantage de la classe de Schwartz,

cette classe, elle est invariante par la transformation de Fourier.

Bon, ça c'est le bon côté de la classe de Schwartz.

Mais, on a vu que, pour appliquer l'analyse de Fourier à l'étude

des EDP, il est souhaitable de pouvoir manipuler des solutions peu régulières.

Alors, la classe de Schwartz va pas aider telle qu'elle parce que, évidemment,

les fonctions de la classe de Schwartz sont des fonctions de classe C infini.

Mais, la classe de Schwartz nous aidera pour construire les distributions

auxquelles on pourra appliquer le calcul de Fourier.

Deuxième inconvénient, même en dehors du cadre des EDP, le théorème

d'inversion de Fourier, dans la classe de Schwartz, il est insuffisant

dans de très nombreuses situations et je voudrais en décrire une,

qui provient de la physique et qui est l'étude de la diffraction.

Alors, bon, on connaît, en optique physique, la diffraction de Fraunhofer.

Alors, diffraction de Fraunhofer, de quoi s'agit-il?

J'ai une source lumineuse qui envoie une onde plane.

Cette onde plane, je la fais passer à travers un écran percé d'un trou, que

j'appelle une pupille, l'écran percé du trou je l'appelle le cache.

Et, je regarde l'onde lumineuse qui est ainsi passée à travers

la pupille, je la projette sur un écran qui est placé suffisamment loin

du cache et je regarde la figure que j'obtiens sur l'écran.

La diffraction, c'est ça, la diffraction de Fraunhofer correspondant au cas où la

distance entre le cache et l'écran est suffisamment grande.

Bien, alors, la théorie de l’optique

nous dit que l'amplitude de l'onde diffractée par l'ouverture K au point M,

de coordonnées petit x, petit y

de l'écran, eh bien, elle est proportionnelle,

avec un facteur de proportionnalité grand A, à l'intégrale sur R

2 de la fonction indicatrice de K, qui est la pupille, en grand X, grand Y,

exponentielle de moins i, 2 pi, sur lambda r, où lambda

est la longueur d'onde de l'onde plane incidente, petit r, la

distance du cache à l'écran, petit x fois grand X plus

petit y fois grand Y, d grand X, d grand Y.

Donc, je prends le module, petit x et petit y sont les

coordonnées du point sur l'écran, grand X, grand Y sont les variables d'intégration

qui, donc, décrivent la surface de la pupille grand K.

Autrement dit, ce que j'obtiens, c'est grand A fois le module de

la transformée de Fourier de l'indicatrice de K, évalué au point

2 pi sur lambda r, fois x, y, où lambda, je répète,

est la longueur d'onde de l'onde incidente, et petit r, la distance

entre le cache, entre la pupille, et l'écran.

Bien, alors, voyons quelques exemples d'images de diffraction.

Vous voyez que, à gauche, sur le dessin qui est en haut, vous avez une

ouverture carrée, éclairée en rouge, et, à

droite, vous avez son image diffractée sur l'écran.

Alors, faisons le calcul avec, pour K, puisque c'est un carré, je vais

prendre pour K, le pavé moins 1, 1, au carré dans R 2.

Bon, alors, la fonction indicatrice de K, évidemment, c'est une fonction qui n'est

pas continue sur R 2, dont elle n'appartient pas à la classe de Schwartz.

Et d'ailleurs, quand je calcule la transformée de Fourier de l'indicatrice de

K, en ksi, êta, j'ai le produit de sinus ksi sur ksi par sinus êta sur êta.

Ce sont des calculs qui sont très simples à faire.

Ce que j'obtiens, à nouveau, c'est une transformée

de Fourier qui, on peut le vérifier très

simplement, n'est pas une fonction appartenant à l'espace

L 1 sur R 2 en ksi, êta.

Autrement dit, c'est pas une fonction qui est intégrable

au sens de Lebesgue en ksi et en êta.

Néanmoins, voilà un exemple de transformée de Fourier qu'on

aimerait pouvoir manipuler, puisque c'est la modélisation d'un phénomène

physique tout à fait élémentaire et fondamental, la diffraction.

Et, d'autre part, la transformée de Fourier de l'indicatrice

d'un carré dans R 2, il est quand même souhaitable

de pouvoir travailler avec de telles fonctions, bien que

ce ne soit pas, bien qu'on ne soit pas, là,

dans le cadre de la classe de Schwartz.

Conclusion, en tout cas, quoi qu'il en soit, on voit que le cadre

de la transformation de Fourier, dans S 2 R N, ne suffit pas pour

modéliser la diffraction, ce qui est quand

même extrêmement fâcheux puisque l'optique physique, l'optique

ondulatoire, est quand même l'un des champs

d'applications principaux de la théorie de Fourier.

Partie 1 Transformation de Fourier sur la classe de Schwartz

Initiation à la théorie des distributions

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