[МУЗЫКА] [МУЗЫКА]

[МУЗЫКА] Тема

сегодняшней лекции — «Критерии типа омега».

Вы уже познакомились с критериями согласия хи-квадрат Колмогорова — Смирнова,

Лиллиефорса.

Сегодня мы рассмотрим еще один общий критерий — критерий типа омега.

Они так же, как и критерии Колмогорова — Смирнова используют идею оценки разницы

между эмпирической функцией распределения и теоретической функцией распределения.

Однако они по-другому оценивают эту разницу.

То есть если критерий Колмогорова — Смирнова смотрел просто расстояние между

ними, то критерии типа омега, они смотрят площадь.

То есть у нас есть выборка, мы предполагает некоторый закон

распределения, из которого эта выборка — любой, потому что это общий критерий.

То есть у нас есть некоторая теоретическая функция распределения.

Мы строим ее,

потом берем и по нашей исходной выборке строим эмпирическую функцию распределения.

И сейчас мы пытаемся оценить площадь между ними.

Соответственно, если площадь слишком большая, то гипотеза отвергается,

если не такая уж и большая, это не так страшно, то не отвергается.

Как оценить площадь?

Для этого надо решить вот такое вот уравнение.

Но если его перевести уже к эмпирическим функциям распределения, то получается

вот такая вот статистика критерия, которая называется Крамера — Мизеса — Смирнова,

либо еще называют омега малое, то есть она на самом деле не такая уж и сложная.

И этот критерий является правосторонним, то есть если мы посчитаем статистику по

нашей выборке, и она пойдет в доверительную область,

которая будет слева, то гипотеза не отвергается.

Критическая, которая будет как раз справа — если мы туда попадем,

то гипотеза отвергается.

И у данного критерия даже есть предельное распределение,

но оно не называется Крамера — Мизеса — Смирнова, оно называется почему-то a1.

Однако идею можно эту развить.

То есть было замечено, что когда у нас гипотеза отвергается,

то есть не согласуется как-то наше теоретическое распределение,

обычно это виднее на концах.

То есть не так страшно, что у нас есть некоторое расстояние в центре — страшнее,

когда у нас есть это расстояние, то есть хуже, не страшнее, на каких-то концах.

И это является более информативным для проверки нашей гипотезы.

И вот эта идея о том, что давайте будем смотреть наблюдения с разными весами,

то есть более информативно для нас — это на краях весах наблюдения,

была использована для следующего критерия согласия.

То есть теперь к оценке площади мы добавим еще весовую функцию пси.

И получается вот такая вот сложная формула, мы еще сейчас быстро решим.

То есть если пси равно 1, то есть берем все опять равнозначные наблюдения,

то получается критерий Мизеса — Смирнова.

Однако если взять вот такую весовую функцию,

то есть именно на краях у нас более значимые наблюдения,

то есть они дают наибольший вклад в статистику что слева, что справа, то

получается критерий Андерсона — Дарлинга, и он имеет вот такой вот сложный вид.

Однако мы никогда не будем его считать — он всегда обычно реализованный,

и вот с такой вот весовой функцией.

Данный критерий также имеет предельное распределение,

и оно называется не Андерсона — Дарлинга, оно называется a2.

Довольно просто: омега малое — a1, омега большое — a2, очень легко запомнить.

И так же, как омега малое, статистика данного критерия сходится к предельному

при простой гипотезе, при сложной уже не сходится.

Сложная гипотеза — там уже начинается все как попало,

и необходимо опять с помощью Монте Карло моделировать статистику.

Однако такой подход дает более высокую мощность, то есть, действительно,

это было оправдано — считать и площадь, и различный вес наблюдений.

И мощность данного критерия — наибольшая, и, вообще,

мы рекомендуем всегда использовать именно этот критерий.

Однако, к сожалению, он далеко не везде реализован,

и Колмогорова — Смирнова гораздо чаще реализован.

Однако если у вас есть возможность, то при проверке гипотезы о согласии используйте

именно этот критерий: наименее мощный Колмогорова — Смирнова, потом омега малое,

и потом только омега большое, либо Андерсона — Дарлинга.

И мы рекомендуем использовать именно Андерсона — Дарлинга.

А в следующей лекции мы рассмотрим критерий Шапиро — Уилка.

2.5. Критерии типа Омега

Исследование статистических взаимосвязей

Conheça os instrutores