Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Композиция двух отражений на плоскости
Loading...
Do curso por Instituto de Física e Tecnologia de Moscou
Геометрия и группы
16 ratings
Na lição
Введение
Conheça os instrutores
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Значит, теперь еще, еще одна, еще,
значит, еще одно соглашение сделаем мы с вами.
Мы сделаем такое соглашение,
что если мы выполняем композицию каких бы то ни было преобразований,
будь то движения или подобия или вот эти страшные слова, гомеоморфизмы там,
какие-нибудь преобразования из линейной группы, что угодно, даже более того,
может быть, даже не преобразование, а какое-то произвольное отображение.
Чем они отличаются?
Они отличаются тем, что когда я говорю слово «преобразования», я имею в виду,
что разные точки переходят в разные.
А если я говорю «отображения», я уже не налагаю такого требования, может быть,
какие-то точки схлопываются между собой.
Но в любом случае, если у нас есть какие-то два таких вот отображения,
ну, в данном случае просто два движения, и я хочу применить их одно вслед за другим,
то я буду записывать это справа налево, так сказать, по-еврейски.
То есть сперва я считываю отсюда.
Ну, или по-арабски.
Сперва считываю отсюда, потом считываю отсюда.
То есть я выполняю преобразование отражения относительно прямой m,
а вслед за этим я выполняю отражение относительно прямой l.
Понимаете, да?
Вот такая вот...
такое соглашение.
А зачем оно мне, такое соглашение, давайте подумаем.
Почему это так хорошо, именно такое соглашение, а не наоборот?
А вот почему.
Давайте проследим за некоторой точкой, любой точкой,
которую мы можем зафиксировать на нашем треугольнике нарисованном.
Вот, скажем, точечка x.
Я хочу посмотреть, куда она переходит при вот такой вот композиции.
Куда она переходит при преобразовании Sₘ?
Ну, в то, что мы назовем Sₘ(x).
Ну и это будет вот эта точка,
то есть симметрично расположенная относительно прямой m.
И теперь вот эту новую точку мы должны подставить,
да, в преобразование Sₗ, то есть эту точку мы должны отразить.
Вначале отразили от m, а потом результат отразили от l.
И вот куда перешла точка x при последовательном выполнении.
И если мы пишем справа налево, то очень хорошо будет написать вот так.
То есть если я изучаю, куда перешла точка x при вот
такой вот композиции, то она перешла в Sₗ от
Sₘ(x) в соответствии с общими правилами математики.
И именно поэтому удобно здесь тоже записывать справа налево,
иначе получится как-то не очень хорошо, что Sₘ от Sₗ(x) = Sₗ от Sₘ(x).
Будет путаница.
А мы просто договоримся справа налево писать, и путаницы никогда не будет.
Просто надо к этому привыкнуть.
Ну так вот.
Мы видим, что действительно точка перешла куда-то сюда на треугольник.
Но пока, наверное, не получается угадать,
что за преобразование вот эта вот композиция, да?
Давайте попробуем посмотреть на еще какие-нибудь точки, и куда они перейдут.
Ну давайте, например, посмотрим, куда перейдет вот эта точка, y.
Куда она перейдет?
При преобразовании Sₘ она перешла вот сюда.
Это Sₘ(y).
А потом при преобразовании Sₗ она осталась на месте, потому что она попала как раз на
эту прямую, относительно которой я буду вторично отражать.
Значит, y перешел сюда.
Итак, x — сюда, а y — сюда.
Так. Ну, замечаем ли мы что-то?
Наверное, мы что-то уже замечаем.
Мы замечаем, что вот этот угол будет одинаковым.
Это такая задача по школьной геометрии,
что вот этот угол тоже будет 120°, как и вот этот.
Ага!
Наверное, у нас появилась гипотеза, что за преобразование мы получили.
Гипотеза заключается в том,
что мы получили поворот на 120° относительно вот этой точки.
Ну, давайте скажем так.
Я в этом вводном сюжете не хочу доказывать эту гипотезу,
потому что специальная тема, отдельная будет.
Это тема преобразований, значит, сохраняющих окружность,
мы будем анализ поворотов проводить и связанных с ними других преобразований.
И там будет уже все это доказано строго.
А пока мы просто хотим, ну, убедиться в том,
что так визуально явно гипотеза верная.
Ну например, вот точка z, вот давайте ее здесь обозначим, вот точка z, вот она, z.
Что с ней произошло при преобразовании Sₘ?
Ответ: она осталась на месте, не правда ли?
Она была на вот этой прямой, никуда не делась.
А при преобразовании Sₗ она отразилась вот сюда.
Несомненно, это тоже угол 120°.
И в ту же сторону измеренный, что еще очень важно.
В ту же сторону измеренный.
x перешло сюда, y — сюда, z — сюда, никто не перешел в обратную сторону.
Все съезжают в ту сторону.
Я предлагаю всем слушателям самостоятельно протестировать еще несколько точек.
У нас были x, y, z.
Протестируйте вот эту, вот эту, вот эту, вот эту точку, посмотрите,
что во всех случаях получится, что точка повернется в результате на 120°.
То есть у нас возникает гипотеза, которую впоследствии мы строго докажем,
что Sₗ композиция с Sₘ — это поворот на 120° в положительном направлении.
А почему я говорю «в положительном»?
А потому что в математике,
в отличие от теории часов ручных,
в математике все углы измеряются против часовой стрелки.
Такая вот незадача вышла.
Когда-то кому-то в голову пришло стрелку пустить в ту сторону, или наоборот
кому-то в голову пришло математические углы измерять в эту сторону.
Так с тех пор все и происходит.
В математике считается вот это положительным направлением
измерения углов, а у нормального человека, ну, по часовой стрелке, да?
Ну вот я предлагаю всем прекратить быть нормальными людьми и стать математиками
навсегда.
У меня даже есть часы такие, мне их подарил двоюродный брат,
математические часы.
Они нормальные вот в нашем смысле слова, то есть стрелка движется вот туда.
И одна и другая.
Я даже к ним в какой-то момент настолько привык, что уже вот лицезрею
обычные часы городские с некоторым подозрением: что-то в них не так.
В общем, предлагаю всем навсегда решить,
что положительное направление — это вот это.
И, соответственно, нам нужно как-то еще обозначить это преобразование,
дать ему имя.
Дать ему имя.
Ну как дать имя повороту?
Наверное, поворот — это...
Мы вообще хотим какие-то латинские, да, там, английские буквы использовать.
Ну, так просто привычнее, да?
Это необязательно, можно было бы Щ, Ъ использовать, но мы, наверное,
будем латинские, как обычно, уже принято, ничего в этом страшного, я думаю, нет.
И тогда поворот как бы, от слова rotation, мы обозначим за R.
Итак, мне только единственное, нужно указать, относительно какой точки.
Ну вот тут есть точка O, мы ее только что взяли и обозначили за O.
А угол наш 120°.
Ну вот такое имя, да?
Мы дали имя повороту.
Ну повороту нужно...
Поворотов много, очень много, это большое-большое семейство.
Нужно указать и точку, относительно которой все поворачиваем, и угол.
Соответственно, нужно, чтобы это имя было таким, сложным, не то, что Маша там,
а Марья Ивановна там Васильева.
То есть это должно быть большое имя: Rₒ ¹²⁰° вот.
Такое будет имя.
У каждого поворота будет точка и угол.
И вот у нас, соответственно, возникла такая интересная гипотеза.
Вот.
Значит, что касается треугольника,
то этот сюжет мы потом будем развивать, когда у нас будет отступление в
абстрактную теорию групп, но оглашаю ответ.
Шесть преобразований движения сохраняют треугольник.
Раз, два, три перечислено.
Поворот на 120, поворот на 240 и, извините,
поворот на 360 или на 0, то есть то движение, которое ничего вообще не меняет.
Нормальному человеку абсурдно вообще его изучать, но математик ему дает имя.
Id, identity, да?
«Ничего не меняется» всегда будет называться вот этими двумя буковками.
Это будет имя для преобразования, которое просто оставляет плоскость на месте.
В этом тоже состоит некоторая, так сказать,
некоторая идеология математических исследований в теории групп.
Особую важную роль играет вроде как совершенно
очевидное и неинтересное преобразование, которое ничего вообще не меняет.
Но мы его тоже возьмем.
То есть у нас есть Id, два поворота на нетривиальные углы и три вот такие вот...
три таких вот отражения.
А как же, — спросите вы, — но ведь композиция тоже, скажем,
поворота вот с каким-то из отражений, тоже должна сохранять треугольник?
Ответ: да.
Но оказывается,
что композиция поворота с отражением — это одно из оставшихся отражений.
И вообще здесь возникает совершенно потрясающая по красоте таблица умножения.
Ее мы...
То есть таблица композиций преобразований.
Ее мы изучим отдельно вот в этой врезке про теорию групп.
Следующие два сюжета мы рассмотрим в следующий раз.
O Coursera proporciona acesso universal à melhor educação do mundo fazendo parcerias com as melhores universidades e organizações para oferecer cursos on-line.
© 2018 Coursera Inc. Todos os direitos reservados.
